三角形的全等及其应用

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1、第十讲 三角形的全等及其应用时间：2005-9-916:10:00来源：初中数学竞赛作者：佚名在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理：　　(1)边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)．　　(2)角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)．　　推论有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)．　　(3)边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)．　　关于直角三角形有：　　(4)斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全

2、等(简写成“HL”)．　　利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质，在本讲中将直接利用这些性质．　　借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂直问题．　　例1如图2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC．　　分析用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证的全等三角形之中．本题的AB，DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．　　证由已知，∠1=∠

3、2，　　∠ABC=∠DCB，而　　∠EBC=∠ABC-∠1，　　∠ECB=∠DCB-∠2，　　所以∠EBC=∠ECB．在　　△ABC及△BCD中，　　∠ABC=∠BCD，　　∠EBC=∠ECB，BC=BC，　　所以△ABC≌△DCB(ASA)，　　所以AB=CD．　　说明线段AB，CD也属于两个(事实上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接证明这两个三角形全等．　　例2如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．　　分析从图形看，GE，GD分别属于两个显然

4、不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一．　　证过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中，∠BGD=∠EGF(对顶角)，①　　∠B=∠F(两直线平行内错角相等)．②　　又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三角形，从而EC=EF．又因为EC=BD，所以BD=EF．③　　由①，②，③△GBD≌△GEF(AAS)，　　所以GD=GE．　　说明适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种

5、方法：　　(1)过D作DF∥AC，交BC于F．可用同样方法证明△GFD≌△GCE(图2-3)．　　(2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H，可证明△GFD≌△GEH(图2-4)．　　　做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的．　　例3如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．　　分析首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是△ABP的一个外角

6、，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能证明∠PBA=∠PAC，问题即能解决，这两个角分别在△ABE与△CAD中，可以证明这两个三角形全等．　　证在△ABE与△CAD中，　　∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD，　　所以△ABE≌△CAD(SAS)，　　所以∠ABE=∠CAD．　　由于∠BPQ是△ABP的外角，所以　　∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．　　在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的对边等于斜边的一半)．

7、　　说明发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个三角形中对应元素相等入手，逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后，进而把注意力集中到△ABE与△CAD中，这里，可适当利用几何直观感觉，启发我们寻找有希望全等的三角形，例如虽然△ABP与△APE都含欲证的角，但只需观察即可知，这两个三角形无望全等．　　例4如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：∠AMB=∠DMC．　　分析1从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三

8、角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角