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1、一、计算题与证明题1.□知
2、tz
3、=l，
4、/?
5、=4,
6、c
7、=5,并JzLu+/?+c=O.计算tzx/?+/?xc+cxa.解：因为
8、“
9、=1，1^1=4,
10、c
11、=5,并且a+6+c=0所以U与6同向，且“+/?与＜7反
12、4因ltt6zx/?=0，bxc=Q，cxa=O所以GX/?+/?XC+CX6Z=02.已知
13、a.Z?
14、=3,axb=4,^a-b.解：
15、tz./?
16、=
17、tz
18、.
19、/?
20、cos沒=3(1)
21、6rxZ?
22、=
23、«
24、•^sin^=4(2)(1)2+⑵2得扣
25、搏=25所以a•b=54.已知向量又与c/（，l，5，—2）共线，且满妃5•又
26、=3，求向景又的坐标.解：设*的叱标为（x，y，z），乂u=（l，5,—2）(1则“•a:=x+5），一2z二3乂X与6Z共线，则IX6/二0即ijkxyz=15-2y25-21-2=(-2y-5z)z+(z4-2x)j+(5x-y)k-0所以7(—2)，一5z)2+(z+2x)2+(5x_y)2=0艮P29x2+5y2+26z2+20yz+4xz-lOxy=0又x与u共线，x与u夹角为0或;r(2)cosO=1=x-ayjx2+y2+z2•Jl2+52+(-2)2y]x2+y2+z2•V30整理得99?；r+y一+z。=_3_To联立⑴、（2）、（3）解出向
27、虽;v的坐标为p11)Ll0’2’5j6.己知点A（3,8,7），B（—l，2,一3）求线段A5的中垂面的方程.解：因为/l（3,8,7），B（—1，2，-3）屮垂面上的点到A、B的距离相等，设动点少标为M（%，y，z）,则巾
28、崖
29、=
30、似6
31、得7（x-3）2+（y-8）2+（z-7）2=7（-^+1）2+（J-2）2+（z+3）2化简得2;c+3;v+5z—27=0这就足线段的中垂面的方程。7.向量6，c具杏相同的模，且两两所成的角相等，若a，6的坐标分别为（1，1，0）和（0，1，1），求向量e的坐标.解：＞
32、=
33、/?
34、=
35、c
36、=r且它们两两所成的角相等，设
37、为汐则有=1x0+lxl+Oxl=1设叫SC的坐t小为(X，y,z)则a•c二1•%+1•)，+0•z=x+y=a•bcosz?二r•r•上=1**r/?•c=0•x+1•)’+1•z=y+z=
38、/)
39、•
40、c
41、cos=r•r•=1c=^jx2+y2+z2=r=Vl2+12+02=V2(1)(2)所以x2+y2+z2=2%=1联立（1）、（2）、（3）求出=O或z=1所以14景c的坐标为（1，0，1）或1X=——31z=——3丄f_丄?3~3>8.已知点A（3,6，l），5（2,-4,1）,C（0，一2,3），£＞（-2,0-3）,（1）求以Afi，AC,为邻边
42、组成的平行六而体的体积.（2）求三棱锥A-BCD的体积.(3)求ABCD的面积.⑷求点A到平面BCD的距离.解：因为A(3,0，l)，5(2-4,1),C(0-2,3),D(-2,0-3)所以5=(-1，-10,0)AC=(-3-8,2)AD=(—5，-6，-4)(1)是以它们为邻边的平行六而体的体积1-1-100IV=-3-82--3+100+0-(0-120+12)=176
43、-5-6-4!(2)由立体几何中知道，四刖体ABCZ)(三梭锥A-BCD)的体积1711Z188VT=—V=—x176=——T663(3)因为&=(—2,2,2),55=(—4,4，一
44、4)__ijk~BCx~BD=-222=-16Z-16y+0^-44-4所以BCx~BD=V(-16)2+(-16)2=16a/2,这足平行四边形BCED的面积因此SA0CD=—SdBCED=—x16a/2=8V2(4)设点A到平而BCD的距离为《，由立体几何使得三棱锥A-BCD的体积VT々腳.H所以//11^221.求经过点4(3,2，1)和B(-l,2-3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程.解：均^?＞，平而垂直的平而平行于y轴，方程为Ax+Cz+£)=0(1)把点4(3,2,1)和点fi(-1,2,-3)代入上式得3?4+C+£)=0(2)—A—3C+
45、Z)=0(3)由(2),(3)得A==222代入(1)W-—X+—z+D=O22消去D得所求的平面方程为x-2-z=02.求到两平面6T3x—y+2z—6=0和斤jf=1距离相等的点的轨迹方程.解；设动点为A/Cr，y，z；),由点到平而的距离公式得
46、3z-y+2z-6
47、-5x+2y-10z+10
48、V32+(-l)2+227(-5)2+22+(-10)2所以3>x—v+2z—6=土Y(—5%+2v—1Oz+10)Vl293.已知原点到平而汉的距离为120,TL以在三个坐标轴上的截距之比为-2:6:5,求汉的方程.解：设截距的比例系数为A，则该平面的截距式方程为
49、x.yzt-2k6k5k化成一般式为一
