如何利用整体思想来解决数学问题

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1、如何利用整体思想来解决数学问题【】G623.5【】B【】1001-4128（2011）03-0085-03　　　　在初中的教育教学中，我发现有很多很多的解题思路和方法，然而在众多的方法中，我发现一种比较简便的解题方法——整体思想。现将我任教以来在教学中发现、探索、归纳出的比较适用的几种整体思想的解法与大家分享。　　利用这种思想能较好的解决很多的代数问题和几何问题，我总结的解法有：整体代入思想；整体换元思想；整体变形思想；整体补形思想；整体合并思想；整体约减思想；整体值思想；整体构造思想等等。　　1整体代入

2、思想　　在求代数式的值时，通常会遇到各种各样关于求未知数的关系式的条件，若利用常规方法在这些关系式中求出未知数后再代入求值式，其计算很复杂。这时往往需要研究问题的条件和结论的整体形式，挖掘式子结构上的特征，将已知条件进行恰当的变形，或者把一些已知关系作为整体，直接代入求值式中计算，这种思想谋求整体代入，过程简洁明了。　　例1：已知m=12，n=1-2且(7m2-14ma)(3n2-6n-7)=8，求a的值。　　解析：由已知可得m2-2m=1，n2-2n=1，又因为(m2-14ma)(3n2-6

3、n-7)=8，所以(7a)(3-7)=8，从而求出a=-9.　　警示：若把m、n的值代入式子中求a的值较为困难，运算量大，现巧妙地将已知条件变形为整式与结论式子的特点，整体代入，从而达到化繁为简的目的。　　例2：若x=120072，求多项式(4x3-2010x-2007)2010的值。　　解析：∵x=120072，∴2x-1=2007。然后两边平方得，4x2-4x-2006=0　　即4x3-4x2-2006x=0，而又有4x2-4x=2006　　∴4x3-2010x-2007=(4x3

4、-4x2-2006x)4x2-4x-2007　　=4x2-4x-2007=2006-2007=-1　　∴(4x3-2010x-2007)2010=(-1)2010=1　　警示：本题就是充分利用已知条件，把已知条件的变形，使已知条件转变为一个整式即4x3-4x2-2006x=0，而又有4x2-4x=2006，然后才利用整体代入的方法。　　2整体换元思想　　整体换元思想是我们解题的一种重要方法，是把题目中的条件和结论看着一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，能起

5、到化繁为简、化难为易的作用。　　用整体换元思想可以解答下列数学问题：1、有理数的运算；2、求整式（或分式）的值；3、因式分解；4、解分式方程（组）；5、接高次方程组；6、处理几何问题等等。　　例3：分解因式：(x25x2)(x25x3)-12　　解析：观察式子中的特点发现可以把式子中的x25x用y来代替，即x25x=y，则有：原式=(y2)(y3)-12=y25y-6　　=(y6)(y-1)=(x25x6)(x25x-1)　　=(x2)(x3)(x25x-1)　　警示：此题若用去括号来解决

6、，出现的次数较高，不易洞察其中的结构，因而增大了因式分解的难度。　　例4：已知x、y是正整数，且,xyxy=23,x2yxy2=120,求x2y2的值。　　解析：本题充分利用已知条件，变形为xy(xy)=120，这样可设xy=m,xy=n，则有：mn=23mn=120∴m=8n=15m=15n=8（不符合，舍去）　　∴x2y2=(xy)2-2xy=m2-2n=82-2×15=34。　　警示：本题若把已知的两个方程联立为方程组，直接求出x、y不易求出，同时要检验解的合理性，所以比较困难。　

7、　3整体变形思想　　在运用整体变形思想时，关键是要弄清变形的目的，变形的方向，变形的过程以及变形的结果等，才能确定如何变形，并对变形过程进行监控。在平时的解题过程中，通常用到的整体变形的方法有：整体配方、整体求倒、整体相加、整体相乘、整体相减和整体构造等，所以整体变形主要应用于化简、求值、证明等。　　例5：已知a、b、c为实数，且

8、bc

9、2

10、a

11、,

12、ca

13、2

14、b

15、,

16、ab

17、2

18、c

19、　　求证：a=b=c　　解析：本题在已知条件的两边平方有：b2c22bc4a2,c2a22ac4b2,a

20、2b22ab4c2，上述三式相加有2a22b22c2-2ab-2bc-2ac0　　即(a-b)2(b-c)2(a-c)20，而(a-b)2(b-c)2(a-c)20　　∴(a-b)2(b-c)2(a-c)2=0，从而有a-b=b-c=a-c=0　　故有a=b=c　　警示：本题可以推广为：已知a、b、c为实数，λ＞0，且

21、bλc

22、(1λ)

23、a

24、

25、cλa

26、(1λ)

27、b

28、,

29、aλb

30、(1λ