随机过程的数字特征

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1、二、随机过程的数字特征定义6.3.1设随机过程的一维分布函数为，我们称分别为随机过程的均值函数和相关函数。对离散型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：其中：对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：均值函数和方差函数刻划了随机过程在不同时刻的统计特性，但不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函数和自协方差函数概念。定义6.3.2设随机过程的二维分布函数为，我们称其自相关函数和自协方差函数分别为：且：若令，则由此可以看出：均值函数和相关函数是最基本的数字特征，协方差函数和方差函数可以

2、由它们确定。在随机过程理论中，仅研究均值函数和相关函数的理论称为相关理论。一般地，相关函数和协方差函数均与时间有关。若令，则：以上两式说明和不仅与时间间隔有关，且与起点有关。当和仅与有关而与无关时，称这类随机过程为平稳过程。例6.3.1设是周期为的矩形波，随机变量服从两点分布令，，则：是具有随机振幅，周期为的矩形波过程，求的数字特征。解：例6.3.2已知随机相位正弦波，其中，为在上服从均匀分布的随机变量。求随机过程的、和一维分布密度函数。解：由在上服从均匀分布得：则：利用随机过程的分布密度公式则：则：例6.3

3、.3设随机过程定义为：若随机点在区间内出现偶数次，则；若出现奇数次，则。又设内随机点出现次的概率与无关，且有：求和。解：由内随机点出现次，互不相容，故：在内出现偶数次，即同理：即：则：为求的相关函数，先求，的联合分布。其中设：，，则：同理：则：其中当，同理可得：则对，有：。在实际问题中，除考虑一个随机过程在不同时刻的性质外，还须考虑两个不同的随机过程之间的关系。例如，通信系统中信号过程与干扰过程之间的关系，此时，我们必须引入互协方差函数和互相关函数来描述它们之间的关系。定义6.3.3设随机过程，是两个随机过程

4、，则称其互相关函数和互协方差函数分别为：且特别地，对任意的，有，则称随机过程，互不相关；若，则称随机过程，相互正交。例6.3.4设有两个随机过程和，其中和都是周期为L的周期方波，ε是在上服从均匀分布的随机变量，求互相关函数的表达式。解：由定义：令，利用和的周期性，则：三、复随机过程工程中，常把随机过程表示为复数形式来进行研究，因此我们下面简单介绍复随机过程的概念和数字特征。定义6.3.4设随机过程，是取实数值的两个随机过程，若对，则称为复随机过程。定义6.3.5当和为实随机过程时，则均值函数、方差函数、相关函

5、数和协方差函数的定义如下：定理6.3.2复随机过程的协方差函数具有如下性质：（1）对称性：（2）非负定性：对任意的及复数，有：证明：（1）（2）