数学实验mathematic实验十四矩阵的特征值与特征向量

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1、天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称据蜱的特征值易特征向管所属课程名称板嗲窠檢实验类型实验曰期依舛代獻2011.12.14班级学姓名成绩一、实验概述：【实验目的】学>』掌握利用Mathematical.0以上版本)命令求方阵的特征位和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.【实验原理】(1)命令Eigenvalues[M]给出方阵M的特征位.(2)命令Eigenvectors[M]给出方阵M的特征向量.但有时输出中含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量.(3)命令Eigensystem[M]给出方阵M的特征

2、值和特征向量.同样有时输出的向量中含存零向量.(4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是<

3、s[M]立即求得方阵M的特征值命令Eigenvectors[M]立即求得方阵M的特征向量命令Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量.rl23^M=213例14.1求方阵3M的特征值和特征向量.Clear[M];M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]＜丄3丄5611321」3例14.2求方阵的特征值和特征向1-2量.(氺Example14.2氺)G={{l/3，1/3，-1/2}{1/5,1，—1/

4、3}{6，1，-2}}；Eigensystem[G]r30(PA=t3例14.3已知2是方阵2的特征值，求t.(*Examplel4.3氺)Clear[Aq]；A={{2-3,0,0}{-1，2-t,一3}{—1,-2,2—3}};q=Det[A]；Solve[q0,t]r2-12、5a3例14.4已知X=G，1，一1)是方阵A=l-1*-2」的一个特征向量，求参数a，b及特征向量x所属的特征值.(*Examplel4.4*)设特征值为t，输入Clear[A,B,v,a,b,t]；A={{t-2,1,一2}，{—5，

5、t-a,一3}，{1，一b，t+2}};v={l，1，-1}；B=A.v；Solve[{B[[l]]0，B[[2]]0,B[[3]]0},{a,b,t}]1.矩阵的相似变换若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵P，使P为对角阵.命令Eigenvectors[A]与Eigensystem[A]给岀还未经过正交化和单位化的r22A求一可逆阵P,使P-1AP为对角阵.2},{2,2,2}}；特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是GramSchmidt[

6、].不过哲先要输入调用软件包〈〈LinearAlgebraOrthogonalization.m的命令.<4122例14.5设方阵A=k22Clear[A,p];八：{{4，1，1}，{2，2,Eigenvalues[A];p=Eigenvectors[A]//Transpose为了验证P-1AP为对角阵，输入Inverse[p].A.p解注二直接用JardanDecomposition[A]jor=JordanDecomposition[A]jor[[l]]jor[[2]]」10、例14.6方阵Ak2是否与对角阵相

7、似?Clear[A]；八=｛｛1，0｝，｛2,1｝｝；Eigensystem[A]00、<-100'2X2B=020已知方阵1与<00例14.7相似，求x,y•Clear[x,v];v二｛｛4，0，0｝，｛—2，2—x，—2｝，｛—3，—1，1｝｝；Solve[Det[v]0,x例14.8对实对称矩阵P-1AP为对角阵.11011010、1000°2A求一个正交阵P，使<

8、，0}，{0，0，0,2}}；Eigenvalues[A]Eigenvectors[A]p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose例14.9求一个正交变换，化二次型为标准型2x,x2+2xtx3+2x2x3+2x4二次型的矩阵为，0110、1010A=1100,0002?f=Table[x[