数学实验特征值与特征向量.

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1、实验六特征值与特征向量一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程xk+1=Axk所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力二．问题描述1.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出Xk的计算公式）。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？2.在美国的黄杉森林中，班头猫头鹰主要以鼹鼠为食。假设这两个种群的捕食率-被捕食

2、率矩阵为A=[0.40.3;-p1.2]’（1）证明：如果捕食参数p=0.325，则两个种群都会增长。估计长期的增长率及猫头鹰与鼹鼠的最终比值。（2）证明：如果捕食率p=0.5，则猫头鹰和鼹鼠都将灭绝。（3）试求一个P值，使得猫头鹰和鼹鼠的数量趋于稳定。此时，对应的种群数量是多少？三．问题分析最简单的捕食者-被捕食者模型可描述为：uk+1=auk+bvkvk+1=-cuk+dvk其中，uk和vk分别指捕食者和被捕食者在k时刻（如第k个月）的数量。a、b、c、d为正数。记xk+1=axk,其中A=[ab;-pc].据此可求出A的特征值和对应的特征向量。再根据不同特征值的个数、绝

3、对值大于1还是小于1、是史特恒指还是负数特征值等情形，分析出系统的演化过程。四．实验过程问题一：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得：A=[0.50.4-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);%求A的特征值和对应的特征向量[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp=diag(lambda);lambda=temp(I)%输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc=pc(:,I)%与特征值对应的特征向量运行程序可得A的特征值为lambda=1.00000.6000A

4、的特征向量pc=-0.6247-0.9701-0.7809-0.2425将小数乘以相应倍数变成整数V1=[45],V2=[41]P=[44;51];P﹣1AP=[1.000;00.60];因为当k趋近于无穷大时，0.6^k趋近于0.所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。当出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情况，该平衡状态就会被打破。直到重新平衡或者系统完全崩溃。问题二：A=[0.40.3;-P1.2];(1)当P=0.325时，类似问题一的结决方案，可求出A的特征向量与特征值如下：A=[0.40.3;-0.3251.2];[pc,lam

5、bda]=eig(A);%求A的特征值和对应的特征向量[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp=diag(lambda);lambda=temp(I)%输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc=pc(:,I)%与特征值对应的特征向量运行程序可得A的特征值为lambda=1.05000.5500A的特征向量pc=-0.4191-0.8944-0.9080-0.4472将小数乘以相应倍数变成整数V1=[511],V2=[21]P=[52;111];P﹣1AP=[1.050;00.55];由此可知，当k趋近于

6、无穷大时，0.55^k趋近于0.所以A的特征值取1.05.即猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月都近似增加到原来的1.05倍，即有5%的增长率.所以xk约为（511），即每5只猫头鹰对应着6500只老鼠。最终比值为1300.（2）当P=0.5时，类似问题一的结决方案，可求出A的特征向量与特征值如下：A=[0.40.3;-0.51.2];[pc,lambda]=eig(A);%求A的特征值和对应的特征向量[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp=diag(lambda);lambda=temp(I)%输出按特征值

7、的绝对值降序排列的特征值pc=pc(:,I)%与特征值对应的特征向量运行程序可得A的特征值为lambda=0.90000.7000A的特征向量pc=-0.5145-0.7071-0.8575-0.7071将小数乘以相应倍数变成整数V1=[53],V2=[11]P=[53;11];P﹣1AP=[0.90;00.7];因为所有的特征值得绝对值都小于1，所以当k趋近于无穷大时，xk趋近于零。所以这个模型预示着斑点猫头鹰最终将会灭绝。（3）采用试值法取p=0.4.可求出A的特征向量与特征值如下：A=[0.40.