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1、《数学实验》报告学院：电子信息学院专业班级：信息工程电联班学号：姓名：实验名称：特征根与特征方程实验日期：2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时，试确定该动态系统的演化（给出xk的计算公式）。猫头鹰和森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或捕食率）有轻微的变动，系统如何变化？2．杂交育种的
2、目的是培养优良品种，以提高农作物的产量和质量。如果农作物的三种基因型分别为AA，Aa，aa。其中AA为优良品种。农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知双亲基因型与其后代基因型的概率。问经过若干年后三种基因型分布如何？要求：（1）建立代数模型，从理论上说明最终的基因型分布。（2）用MATLAB求解初始分布为0.8，0.2，0时，20年后基因分布，是否已经趋于稳定？概率父体－母体基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aa后代基因型AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/211．实验过程3.1实验原理
3、1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3.2算法与编程3.2.1clear,clca=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;n=100;xlabel('
4、lambda
5、>1,
6、u
7、<1')axis([0b0d]),gridon,holdonx=linspace(a,b,30);A=[0.50.4;-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=p
8、c(:,I)pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button=1;whilebutton==1[xiyibutton]=ginput(1);plot(xi,yi,'go'),holdonX0=[xi;yi];X=X0;fori=1:nX=[A*X,X0];h=plot(X(1,1),
9、X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-');holdontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3.2.2clear;A=[10.50;00.51;000];X=[0.8;0.2;0];fori=1:20X=A*X;endX20=XX=[0.8;0.2;0];C=[111]';n=0;whilenorm(X-C,'fro')>1.0e-
10、16C=X;n=n+1;X=A*X;endformatlong;X,n结果分析1.2.>>X20=0.9999998092651370.0000001907348630X=1.0000000000000000.0000000000000000n=524.实验总结和实验感悟通过本次实验，我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；理解由差分方程xk+1=Axk；提高对离散动态系统的理解与分析能力。我们可以选取充分大的k使上述两式中的近似达到任意精度。每次增长为原来的入倍，所以入决定了系统的最后增长率。对于大的k，x屮任何两个元
11、素的比值约等于屮对应元素的比值。用Matlab软件可以方便地计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系统;xk+1=Axk的演化过程.
