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《数学实验特征值与特征向量.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数学实验报告学 院：班 级：学 号：姓 名：完成日期：实验六矩阵的特征值与特征向量问题一一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程xk+1=Axk所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二．问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出Xk的计算公式）。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如
2、出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？三．问题分析将线性变换xAxk的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。根据已知信息，找到系统对应的差分方程xk+1=Axk，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。四．实验过程问题对应的差分方程为xk+1=Axk，其中A=0.50.4-0.1251.1，演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得：A=[0.50.4;
3、-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.6247-0.9701-0.7809-0.2425显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取V1=4V2=4P=44P﹣1AP=1.000515100.60第二步
4、：V1用和V2表示x0和xK,k=1,2….因为{V1，V2}是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得x0=c1V1+c2V2.因为V1，V2为矩阵A对应于λ=1.0，u=0.6的特征向量，所以AV1=λV1，AV2=λV2，于是X1=Ax0=A(c1V1+c2V2)=c1λV1+c2uV2.X2=Ax1=A(c1λV1+c2λV2)=c1λ2V1+c2u2V2.一般地，Xk=c1λkV1+c2ukV2.=c1(1.0)k4+c2(0.6)k4k=0,1,2,3….51当k趋近于无穷大时，0.6^k趋近于0，假定c1>
5、0,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1(1.0)kV1，写为Xk≈c1(1.0)k45K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k，Xk+1≈c1(1.0)k+145=Xk可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且Xk约为45的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。第三步：解的图像表示，见图8-1，其中绿色圆圈代表初始点x0，红色圆点代表迭代序列，箭头代表迭代方向，蓝色直线代表特征向量V1，V2所在的直线。在图8-1中，圆点为鞍点，排斥最快的方向为过圆点和特征向量V1的直线方向。其中V1对应的特征值得绝对值为1.如
6、果x0在这条直线上，则表示c2等于0，且Xk始终在原点。吸引最快的方向由特征向量V2决定，其对应的特征值的绝对值大于1.相应的代码如下：%P8_1.m%捕食者-被捕食者解的图像表示clear,clca=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;n=100;xlabel('
7、lambda
8、=1,
9、u
10、<1')axis([abcd]),gridon,holdonx=linspace(a,b,30);A=[0.50.4;-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(ab
11、s(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button=1;whilebutton==1[xi,yi,b
12、utton]=ginput(1);plot(xi,yi,'go'),holdonX0=[xi;yi];X=X0;fori=1:nX=[A*X,X0];h=plot(X(1,1),X(2,1),'R',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-');holdontext(X0(1,1),X0(2,1),'
