函数概念和表示

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1、一、常见函数的定义域求下列函数的定义域1.已知函数，求的定义域.2.求函数的定义域.3.求函数的定义域.二、抽象函数（没有明确给出具体解析式的函数）定义域主要题型如下：【类型一】已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．【类型二】已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．【类型三】已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域。【类型四】运算型的抽象函数例1．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。例

2、2．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。例3．设函数的定义域为[0,1]，则函数的定义域为________。函数的定义域为__________。例4.函数f(x+1)定义域是[-2,3]，求f(2x-1)的定义域.习题1.函数定义域1.(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．2．若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．

3、3.已知函数f(x)的定义域是[0,2].(1)求函数f(x+1)的定义域；(2)求函数的定义域；(3)求函数的定义域。三、函数的值域1.求函数值域的常用方法（观察法、数形结合法、换元法、分离常数法、配方法）．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y＝ax＋b±的函数，我们

4、可令＝t，将函数y转化为关于自变量t的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y＝(a≠0)的函数，分离常数，变形过程为＝＝＋，再结合x的范围确定的取值范围，从而确定函数的值域．例题讲解例1．求函数的值域为.（数形结合）例2．求函数的值域.（分离常数）例3.求函数的值域.（换元法）例4.求函数的值域.（配方）例5.求函数的值域.（配方）习题2.函数值域1.求下列函数的值域(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；（2）y＝x2－4x＋6，x∈[1,5];（3）y＝－1；（4）；（5）；（6）y＝x＋．2．已知f(x)＝(x≠－2且x∈R)，g(x)＝x2＋1(x∈R)．

5、(1)求f(2)，g(1)的值；(2)求f(g(2))的值；(3)求f(x)，g(x)的值域．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．2．映射1）映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)，x称作y的原象．2）一一映射如果映射f是

6、集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．3）映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集．四、函数解析式求函数的解析式：常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。例1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）例2．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）例3．

7、已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。（消去法）例4．已知，求函数f(x)的解析式。例5已知f(x－1)＝x2－2x＋7.(1)求f(2)和f(a)的值；　(2)求f(x)和f(x＋1)的解析式．练1已知f(x＋1)＝x2－3x＋2.(1)求f(2)和f(a)的值；　(2)求f(x)和f(x－1)的解析式．2.求下列函数的解析式．(1)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)；(2)已知一次函数f(x)满足f[f(x