数论习题答案new

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1、1证明：都是的倍数。存在个整数使又是任意个整数即是的整数2证：从而可知3证：不全为在整数集合中存在正整数，因而有形如的最小整数，由带余除法有则，由是中的最小整数知下证第二题（为任意整数）又有故4证：作序列则必在此序列的某两项之间即存在一个整数，使成立当为偶数时，若则令，则有若则令，则同样有当为奇数时，若则令，则有若，则令则同样有综上存在性得证下证唯一性当为奇数时，设则而矛盾故当为偶数时，不唯一，举例如下：此时为整数5.证：令此和数为S，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M，使MS不是整数，从而证明S不是整数（1）令S=，取M=这里k是使最大整数，p是不大于n

2、的最大奇数。则在1，2，3，┄，n中必存在一个，所以MS=由M=知，必为整数，显然不是整数，MS不是整数，从而S不是整数（1）令M=则SM=，由M=知，而不为整数SM不为整数，从而也不是整数1．证：设是a，b的任一公因数，

3、a，

4、b由带余除法。

5、，

6、，┄,

7、,即是的因数。反过来

8、且

9、，若则，所以的因数都是的公因数，从而的公因数与的因数相同。2．见本书P2，P3第3题证明。3．有§1习题4知：使。，，使如此类推知：且而b是一个有限数，使，存在其求法为4。证：由P3§1习题4知在（1）式中有，而，，即1，证：必要性。若，则由推论1.1知存在两个整数s，t满足：，充分性

10、。若存在整数s，t使as+bt=1，则a，b不全为0。又因为，所以即。又，2．证：设，则又设则。反之若，则，。从而，即=3．证：设（1）的任一有理根为，。则（2）由，所以q整除上式的右端，所以，又，所以；又由（2）有因为p整除上式的右端，所以，，所以故（1）的有理根为，且。假设为有理数，，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是，这与为其有理根矛盾。故为无理数。另证，设为有理数=，则但由知，矛盾，故不是有理数。1．见书后。2．解：因为8

11、848,所以，又8

12、856，所以8

13、B，，又4

14、32，所以4

15、C，又9

16、（3+2+3+4+3+3），所以9

17、D，，

18、又9

19、（3+5+9+3+7），所以9

20、E，又所以；同理有。3．证：，，.，又显然，同理可得，推广.设,,(其中为质数为任意n个正整数)则4．证：由,,有从而有．５．证：（反证法）设为奇数）则　　　　　　　　，为合数矛盾，故ｎ一定为２的方幂．2.(i)证:：设.则由性质II知,所以,　所以，所以，又在ｍ与ｍ+１之间只有唯一整数ｍ，所以．　(ii}[证一]设,则①当时,;②当时,;[证二]令,是以为周期的函数。又当，即。[评注]：[证一]充分体现了常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。3．（i）证：由高斯函数[x]的定义有。则当当故（ii）证：设，则有下面分两

21、个区间讨论：①若，则，所以，所以②若，则，所以。所以2.31证：由知及都是单位圆周上的有理点。另一方面，单位圆周上的有理点可表示为，于是得，又的一切非整数解都可表示为：，于是第一象限中上的有理点可表示为，由于单位圆周上的有理点的对称性，放上的任意有理点可表为及，其中a，b不全为0，号可任意取。3．21.证：由的取值可得个数，若，则，又，。又，又，。为同一数，矛盾，故原命题成立。3.（i）的引理对任何正整数a，可以唯一的表示成的形式，其中。证：（i）设由于取值故取值为0，1，2。这样的数有2H+1个，其中最小的数为0，最大的数为2H，所以A+H可以表示下列各数：0，

22、1，2，，上列数中减去H得，则A可表示上列各数，且表示唯一。（ii）事实上，只需这样的（n+1）个砝码即可。由（I）知1到H中任一斤有且仅有一种表示法，当时，将砝码放在重物盘中；当时，不放砝码；当时，将砝码放在砝码盘中。如此即可。3.31.证：由定理1知所在的模m的剩余系是与模m互质的。又已知两两对模m不同余，所以这个整数分别属于不同的模m的剩余类。再由定理1知结论成立。2.证：设模m的一个简化剩余系是，即，由于，当通过m的简化剩余系时，由定理3知，也通过模m的剩余系。故对，存在使，.3.（i）证：由定理5知：p为质数时，。所以即证。（ii）证:设整数m的所有正约

23、数是,考察m的完全剩余系（1）对(1)中任一数,设(a,m)=d,则,即(1)中任一数与的最大公约数是中的数。反之，对每一个（1）中必有一数a使（例如），而且对（1）中任一数不可能出现，于是，将（1）中的数按其与m的最大公约数的情形分类：（1）中与m的最大公约数是的数有个；（1）中与m的最大公约数是的数有个；┄，（1）中与m的最大公约数是的数有个；所以,即，注意是m的约数，所以1.41.解:,即，因为，由欧拉定理有，所以所以从今天起再过天是星期五.3.(i)证：对用数学归纳法.①当a=2时,证明,,对有为整数,又因为,所以。，所以可设为整数。。所以。②假设命题对成

24、立，即，则