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1、數論輕鬆遊沈淵源數論,特別是模算術(modulararithmetic)[9]在近代密碼學當中是非常重要的。這是大數學家戈德福瑞·哈洛德·哈地1(GodfreyHaroldHardy)在上一世紀的四十年代所無法想像的事情。當年他曾提到[12]:數論乃純數中的純數,是遠離一般人類活動的一門學科。其實早在三十多年前,數論就已經用在一般人類活動中,如資訊傳輸裏的錯誤更正碼及密碼。我們在此介紹密碼學中用到的一些基本數論[5,14,17],至於更專門的課題如因數分解[10]與質數檢驗[6]、離散對數[7]及橢圓曲線理論[15,20]就等另外的時候再作介紹。不過首先要進場的是與我們為伴的
2、數學運算大師Mathematica。其他的數學套裝軟體如MATLAB或是任何你所熟悉的系統都可拿來使用。1.數學運算大師簡介數學運算大師Mathematica是美國WolframResearch公司所研發出來的一套由電腦來演算數學的系統。自從1988年發行上市以來,由於其多才多藝,早已建立起自己的形象而成為眾多使用者所選擇的電腦代數系統[8](ComputerAlgebraSystem,簡稱為CAS)。它提供了一強有力的數學程式環境包括數值的(numerical)、符號的(symbolical)及圖形的(graphical)工具,來協助我們解決數學方面的問題。已有相當多的人使
3、用它來觀察並分析工程、數學、物理學、經濟學及其他科學領域上的問題。它也可當成高階的程式語言來使用。其工作的平台相當廣泛,從Cray的超級電腦到桌上型及膝上型輕便電腦皆可。在將近兩百萬個使用者中其分佈大約如下[22]:工程25%,物理學20%,數學18%,電腦科學14%,化學及化工6%,財經4%,生命科學4%,社會科學3%,其他6%。約有三分之二的使用者是在工業界及政府部門工作,而僅僅8%為學生使用者。Mathematica是由兩大部分組合而成的,就是所謂的前端(FrontEnd)以及核心(Kernel)。核心乃是其計算的引擎,負責所有的計算工作。前端則透過記事本介面(note
4、book1哈地(1877-1947)英國數學家。跟李特伍德(J.E.Littlewood,1885-1977)在1910至1945年間,兩人合作發表了將近100篇的論文:包括數論、不等式及黎曼假設方面的著作。在黎曼假設方面證明了Zeta函數在直線x=1上有無限多個零點。哈地曾邀請印度數學家雷曼紐卷(Ramanujan,1887-1920)到英格2蘭訪問,兩人在1914至1917年間合作,特別是在數的分割之研究最具原創性,可參見數學傳播,27卷3,4期,顏一清「探求『無限』奧秘的數學家—SrinivasaRamanujan(上)、(下)」。4546數學傳播29卷4期民94年12
5、月interface)來作為使用者與核心之間的溝通橋樑。當你啟動Mathematica之後,它會自動開啟一個工作視窗2和一個常用的基本輸入面板(BasicInputPalette)。我們稱此工作視窗為記事本(notebook),而Mathematica則用一種特殊的檔案格式來儲存工作視窗的內容,其附加檔名為.nb。這些記事本有如一般的文字處理軟體一樣,你可在上面加註解3、做結論還可匯入或匯出多種不同格式的圖形檔。要發表的論文資料或上課講義可在此預備,也可在此下達指令將這些文件列印出來。其中的資料可在記事本之內或之間互相剪貼,目的就是希望能再使用或是經過修改其文字、圖形或計算式
6、子後成為我們所需要的文件。前端記事本檔案將裡面的資料分類安排放在所謂的「細胞(cells)」當中,所以這些細胞就是構成此記事本檔案最基本的單元。在這些文字、圖形或計算式的細胞之最右端都有「右中括弧」,而這些「右中括弧」就代表整個文字、圖形或計算式單元。輸入細胞(inputcells)含有Mathematica的指令者可按下SHIFT-RETURN鍵(先按住SHIFT鍵然後再按RETURN鍵)來執行這些指令。文字細胞僅包含有文字信息,所以不需經由核心來計算。圖細胞則包含有描繪圖及曲線圖。我們可以把細胞格式化使其具備各式各樣的屬性,如展示的字體之大小與顏色等。這些細胞也可用摘要的
7、形式來組織一文件,其方法如下:先點取此細胞最右端的「右中括弧」,再從工作視窗上點取Format選單中的Style然後選取Title,Subtitle,Section,Subsection,···即可。接著我們介紹一下Mathematica所用的慣用語法,你可透過這些規則來了解它是怎麼樣發號司令的。•基本四則運算及指數所用的語法跟其他的程式語言完全一樣。•變數通常用小寫字母表示,但也可以是一個字串如yvalue=···。•函數的變數x,y,...以中括弧[x,y,...]括起來,而小括弧則用來達到分組的效
