数论问题2new

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1、2004年第13期　　　　　　　　　　　　　数学通讯41数论问题余红兵中图分类号:O12-44文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2004)13-0041-05kk+1(续上期)成立,即uk=2a,uk+1=2b(a,b均是例9　证明:对任意自然数n,数[(3+k+2整数),则由(5)得uk+2=2(3a-b),故nnk+25)]+1被2整除.这里[x]表示实数xuk+2被2整除.因此所说的结论对所有n的整数部分.成立.n证　论证的要点是给予[(3+5)]的例10　设x,y是大于1的整数.证明:yz一个不同的(但适用的)表示.为此,我们考虑

2、不定方程x=2-1没有正整数解.yz数α=3+5的共轭数β=3-5,它们由整证　将方程改写为x+1=2.我们希2系数二次方程x-6x+4=0相关联:是该望将左端分解,这在y为奇数时能够实现.方程的两个根.记此时方程化为nny-1y-2zun=α+β.(x+1)(x-x+⋯-x+1)=2我们现在易于导出{un}(n≥1)的递推公(6)式:以αn乘α2-6α+4=0,及βn乘β2-6β上式右端是(素数)2的幂,故左边两个因式也都必须是2的幂.但由原方程易知x是奇+4=0,并将结果相加,即得y-1y-2数,故x-x+⋯-x+1是奇数(y)个un+2=6un+1-

3、4un,n≥1(5)奇数之和,从而是奇数,因此它必须是1.这因u1=6,u2=28都是整数,故由(5)及归纳结合(6)给出y=1,不合要求.法知所有的un都是整数.当y为偶数时,我们采用不同的方法:n注意0<3-5<1.故0<β<1,因此y因x是奇数的平方,故它被4除余1.将方nnnnα

4、用归纳法完成:n=(读者可比较本题和例1的解法.)1,2时结论成立.假设n=k和k+1时结论注　不定方程是数论中的一个重要内收稿日期:2004-02-1042数学通讯　　　　　　　　　　　　　2004年第13期容,变化极多.处理不定方程最为基本的方法估计.因x是正整数,故22是分解方法:将方程(适当的)分解、变形,以x

5、k都是自然数(k≥2),k一分解定理.)满足ab=c.若a,b互素,则a与b必然都分解方法常和别的方法(同余方法、估计是自然数的k次幂.这一基本的结论应用也方法等)结合使用,请读者参看后面的例子.很广泛(这里,我们再一次看到了“互素”的重同余,是数论中极为重要的概念.所谓同要性).本题中,我们用这个结果,从原方程产余方法,其要点是考虑余数:若两个整数相生出一个易于处理的方程(8).处理方程(8)等,则它们被任何自然数n除得的余数必然的第二个方法,就是所谓的不等式的估计法,相等,因此,若能找到一个自然数n,使这两这一方法的精神是应用不等式给出有关量的个整数除

6、以n的余数不同,则它们绝不能相(适用的)界限,进而导出结果或由此作进一等.基于这一原则,我们常通过考虑余数来证步的论证.明“不能”,或导出某些(关于余数的)必要条例12　设正整数d不等于2,5,13.证件,作为进一步论证的基础,这在不定方程的明:在集合{2,5,13,d}中可找出两个元素处理中应用极多.(例10中,考虑(7)两边被a,b,使得ab-1不是完全平方数.224除得的余数,推出了z必须为1.)证　由于2×5-1=3,2×13-1=5,52例11　证明:方程×13-1=8.因此只需证明2d-1,5d-1,x3+2x2+2x+1=y213d-1中至少

7、有一个不是完全平方.没有正整数解x,y.反证法,假设所说的三个数都是完全平证　假设问题有解,方程可变形为方,2(x(x+1)+1)(x+1)=y22d-1=x,(9)2因为x(x+1)+1显然与x+1互素,而上5d-1=y,(10)2式右端为完全平方,故x(x+1)+1与x+113d-1=z.(11)都是完全平方,设x,y,z为正整数.由(9)(模2)知,x为奇x(x+1)+1=z2,z为正整数(8)数.进一步,将(9)模4得2d-1≡1(mod处理(8)可以用分解方法:将等式两边乘以4),故d≡1(mod2),即d是一个奇数.因此4,得出(2x+1)2+

8、3=(2z)2,故由(10),(11)可见y,z都是偶数.设y=2