数论重要定理new

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1、一、欧拉定理设的整数，.例1设，求的末三位数.解由二项式定理，是一个正整数.记，因为.而是一个正整数，则所以于是又因为，，，又所以，，，则，所以则因为所以，于是，有，，又因为，，所以，即，所以，于是，有.所以所以.故的末三位数是.二、费马小定理（1）为素数，且则；（2）为素数，则.例2为整数，证明.证明，由于所以.即.由于奇数的4次方被16除余1，偶数的4次方被16除余0，故有.即.又由于则，即.又两两互素，故.例3设整数，求证不是素数.证明由于所以，即.又，同理则.即.从而不是素数.例4设中有无穷多项被整除.证明当当，所以对任意的，即.特别地，取.则.令则，即.三、

2、威尔逊定理设.证明考虑多项式.由费马小定理，当所以则.则设.得，则.取代入，得所以.例5.证明：若为奇素数，则.证明：.而为奇素数，有.四、中国剩余定理设有整数解.令则同余方程组在模下的解是唯一的.令，则解为.例6证明：对任意给定的正整数其中每一个都有大于.分析：则.证明：设存在正整数解，设为一个正整数解，则满足要求.例7任给正整数，存在证明设，同余方程组存在正整数解例8给定正整数，设是使能被整除的最小正整数.证明：当且仅当为2的幂时，有.分析：，因为，所以.则问题归结为：证明：（1）当.当∵，∴.∴综上，知.（2）分析：.（证明）令此时需证，即证存在即可.构造同余方

3、程组（1）由中国剩余定理知，同余方程组（1）有正整数解，则.从而有，即，.考虑的取值范围：若这与相矛盾，故.若，这与相矛盾,故.从而有，于是得证.五、阶及应用定理1设.证明：互质，所以有.由抽屉原则，使得，，令.定义1：设.注：若.当.定理2设，则证明：令，则.而，所以.而知.从而推论：若.特例：当时，.例8设证明：显然假设∵，∴，，∴.设①又由小费马定理知，，∴.②由①，②知，.∵∴.又若奇数∵∴.∴由，即.由知，即，从而而则.