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《数论习题答案60844》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.comhttp://www.Ppt99.com1证明:都是的倍数。存在个整数使又是任意个整数即是的整数2证:从而可知3证:不全为在整数集合中存在正整数,因而有形如的最小整数,由带余除法有则,由是中的最小整数知下证第二题(为任意整数)又有故Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.com1证:作序列则必在此序列的某两项之间(区间段)即存在一个整数,使成立当为偶数时,若则令,则有若则令,则同样有当为奇数时,若则令,则有若,则令则同样有综上存在性得证下证唯一性当为奇数时,设则而矛盾故当为偶数时,不唯一,举例如下:此时
2、为整数5.证:令此和数为S,根据此和数的结构特点,我们可构造一个整数M,使MS不是整数,从而证明S不是整数(1)令S=,取M=这里k是使最大整数,p是不大于n的最大奇数。则在1,2,3,┄,n中必存在一个,所以Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.comMS=由M=知,必为整数,显然不是整数,MS不是整数,从而S不是整数(1)令M=则SM=,由M=知,而不为整数SM不为整数,从而也不是整数1.证:设是a,b的任一公因数,
3、a,
4、b由带余除法。
5、,
6、,┄,
7、,即是的因数。反过来
8、且
9、,若则,所以的因数都是的公因数,从而的公因数与的因数相同。2.见本书P2,P3第3题
10、证明。3.有§1习题4知:使。,,使如此类推知:且Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.com而b是一个有限数,使,存在其求法为4。证:由P3§1习题4知在(1)式中有,而,,即1,证:必要性。若,则由推论1.1知存在两个整数s,t满足:,充分性。若存在整数s,t使as+bt=1,则a,b不全为0。又因为,所以即。又,2.证:设,则又设则。反之若,则,。从而,即=3.证:设(1)的任一有理根为,。则Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.com(2)由,所以q整除上式的右端,所以,又,所以;又由(2)有因为p整除上式的右端,所以,,所以故(1)的
11、有理根为,且。假设为有理数,,次方程为整系数方程,则由上述结论,可知其有有理根只能是,这与为其有理根矛盾。故为无理数。另证,设为有理数=,则但由知,矛盾,故不是有理数。1.见书后。2.解:因为8
12、848,所以,又8
13、856,所以8
14、B,,又4
15、32,所以4
16、C,又9
17、(3+2+3+4+3+3),所以9
18、D,,又9
19、(3+5+9+3+7),所以9
20、E,又Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.com所以;同理有。3.证:,,.,又显然,同理可得,推广.设,,(其中为质数为任意n个正整数)则4.证:由,,有从而有.5.证:(反证法)设为奇数)则 ,为合数矛
21、盾,故n一定为2的方幂.2.(i)证::设.则由性质II知,所以, 所以,所以,又在m与m+1之间只有唯一整数m,所以. (ii}[证一]设,则Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.com①当时,;②当时,;[证二]令,是以为周期的函数。又当,即。[评注]:[证一]充分体现了常规方法的特点,而[证二]则表现了较高的技巧。3.(i)证:由高斯函数[x]的定义有。则当当故(ii)证:设,则有下面分两个区间讨论:①若,则,所以,所以②若,则,所以。所以Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.com2.31证:由知及都是单位圆周上的有理点。另一方面,单位
22、圆周上的有理点可表示为,于是得,又的一切非整数解都可表示为:,于是第一象限中上的有理点可表示为,由于单位圆周上的有理点的对称性,放上的任意有理点可表为及,其中a,b不全为0,号可任意取。3.21.证:由的取值可得个数,若,则,又,。又,又,。为同一数,矛盾,故原命题成立。3.(i)的引理对任何正整数a,可以唯一的表示成的形式,其中。Ppt99专业课件下载网http://www.Ppt99.com证:(i)设由于取值故取值为0,1,2。这样的数有2H+1个,其中最小的数为0,最大的数为2H,所以A+H可以表示下列各数:0,1,2,,上列数中减去H得,则A可表示上列各数,且表示唯一。(i
23、i)事实上,只需这样的(n+1)个砝码即可。由(I)知1到H中任一斤有且仅有一种表示法,当时,将砝码放在重物盘中;当时,不放砝码;当时,将砝码放在砝码盘中。如此即可。3.31.证:由定理1知所在的模m的剩余系是与模m互质的。又已知两两对模m不同余,所以这个整数分别属于不同的模m的剩余类。再由定理1知结论成立。2.证:设模m的一个简化剩余系是,即,由于,当通过m的简化剩余系时,由定理3知,也通过模m的剩余系。故对,存在使,.3.(i)证:由定理5知:p为质数
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