两个平面垂直的判定和性质教案

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1、两个平面垂直的判定和性质教案　　教学目的　　(1)使学生掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及它们的证明，并学会加以初步运用．　　(2)通过本节内容的引入与命题的构造、完善、论证过程，对学生进行观察、实践、猜测、联想、分析、论证等思维能力的培养．　　教具制作　　用两个矩形铁丝框架焊制成两个互相垂直的平面的模型(如图1)，并在两个平面的交线CD上取点B，在点B处焊上两个用铁皮卷成的插孔BM、BN；再备两个可以插入插孔的粗铁丝段，使插入以后可以表示二面角α－CD－β的平面角．　　教学过程　一、引入新课　　　

2、师：前一节课，我们学习了二面角、直二面角、两个平面垂直等概念(为了本节课“引入”的需要，特地把“α⊥β”的概念移至上节课)，今天我们学习“两个平面垂直的判定和性质”．　　(板书课题后，随即出示小黑板，引入命题．)　　意取其中两个作前提，另一个作结论构造命题，能构成几个命题，并判断其真假．”　　[提出问题，引起思维．]　　[学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，积极思考，相互议论；教师巡视，及时给予以个别启发、指导．　　估计学生能构成三个不同的命题：　　　　教师可鼓励学生大胆猜想与判断．对

3、于学生回答不完善时，教师给予及时引导，点拨．]　二、证明定理　　　(教师针对学生的回答先板书，再演示教具，印证“猜测”．)　　师：对于命题(1)．欲证α⊥β，须判断二面角α－CD－β为直二面角，为此须作出其平面角(图2)．(在教具模型上，再插入线段EM，即在β内作BE⊥CD．)这样，得到二面角α－CD－β的平面角∠ABE，从而由∠ABE=90°证明了α⊥β．　　[把问题交给学生，让学生在对模型进行观察、分析后提出猜想，并在议论和印证中发现了两个平面垂直的判定定理(暂且还未揭示)的内容及其证明方法，从而增

4、强学生学习中的发现因素和探索机会，有利于培养学生的思维能力和探索精神．]　　[接着，在学生思考探究的基础上，让学生通过模型，考察命题(2)．]　　师：(指着模型)现在让我们来考察、探究命题(2)的真假(图3)．　　(学生摆弄手中自搭的模型，观察思考着“由α⊥β，α内的直线a能与平面β垂直吗？”)　　生甲：“不能！”　　生乙：“不一定能！”　　[教师肯定了后者，a不一定垂直于β，如图3中直线a'，故命题(2)不真．接着，激励学生进一步探究．]　　的结论成立呢？　　(学生在各自的桌面上用书本、铅笔构造模型，

5、摆弄a在α内的各种位置后，进行讨论并提出猜想．)　　生：增加a⊥CD的限制条件后，即能判定a⊥β．即　　　　师：现在，我们给出命题(2的证明．　　[师生共同活动完成证明过程．再次结合教具，插入线段AN(图2)，表示a⊥CD，为利用α－CD－β为直二面角的条件，从而添置辅助线，插入线段EM图2)，即在β内作EB⊥CD，一方面AB⊥OD，另一方面由∠ABE=90°，得到AB⊥BE，从而a⊥β．]　　[这里揭示了命题(2的形成过程：在处于命题(2)的阶段是初露端倪，经过分析、对比、猜想、抽象、印证，形成了命题

6、(2．这个过程，有利于发展学生的数学思维，如果不讲过程，不讲背景，容易使学生的思维呆板．此外，启发学生学习的主动性与创造性的关键不在于频繁的提问，而在于“创造问题的情境”，如本段教学中出现了命题(2)不真的矛盾，如何使其“真”，并再证明其真，这就创造出一种使学生能够积极思维的环境．]　　[有了完善命题(2)的经验和乐趣，学生带着浓厚的兴趣投入完善命题(3)的实践中．]　　师：由摆弄模型(包括学生自搭的)可知，由α⊥β，a⊥β，显然a不一定在α内，如图4中直线a'．为了达到aα的结论，需要增加什么条件？　

7、　生：a须经过α内的一点P(图4)．(教师板书．)　　　　师：对于命题(3的证明，先请同学们回忆一下，证明直线在平面内常用什么方法？　　(估计学生会回答：“同一法”或“反证法”．)　　师：我们不妨用同一法试试．　　(教师简述“同一法”证题的三个步骤：符合结论的作图，图形符合条件的证明，“唯一性”的说明．接着启发、诱导．)　　师：如何就本题的条件证明“aα”的结论呢？　　(学生思考、议论后回答．)　　生：在平面α内过点P作b垂直于平面α、β的交线c，由命题(2判断b⊥β．　　(教师肯定并鼓励学生的严密思考

8、，继续允许学生再发表意见，并启发学生另一种证法：　　　　师：从不同的“唯一性”为出发点，证明了命题(3．至于“反证法”的证明，同学们课外去思考．　　[“同一法”的三个步骤由教师扼要表述，这是教师给予学生在知识上的必要的铺垫，以减少思维障碍，使学生的议论、猜想、证明得以顺利的进行．]　　师：(画龙点睛地)通过构造命题，探索真伪，猜想论证，得到了三个正确的命题．其中命题(1)用来判断α⊥β，故称它为两个平面垂直的判定定理；命题(2、(3称为两个