高三数学总复习 两个平面垂直的判定和性质(二)教案

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1、湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案:两个平面垂直的判定和性质(二)一、素质教育目标(一)知识教学点1.两个平面垂直的性质定理.2.异面直线上两点间的距离公式.(二)能力训练点1.弄清反证法与同一法之间的关系,并会应用同一法证题,进一步培养学生的逻辑思维能力.2.掌握两个平面垂直的性质定理,理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题.3.异面直线上任意两点间的距离公式不仅可用于求其值,还可以证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的.另外,还可解决分别在二面角的面内两点的距离问题.二、教

2、学重点、难点、疑点及解决方法1.教学重点:掌握两个平面垂直的性质;会运用异面直线上两点间的距离公式.2.教学难点:异面直线上两点间距离公式的应用.3.教学疑点:(1)弄清反证法与同一法的联系与区别.(2)正确理解、应用异面直线上两点间的距离公式:EF=三、课时安排本课题安排2课时.本节课为第二课时,主要讲解两个平面垂直的性质及异面直线上两点间的距离公式.四、教与学的过程设计(一)复习两个平面垂直的定义,判定师:什么是两个平面互相垂直?生:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互

3、相垂直.师:如何判定两个平面互相垂直?生:第一种方法根据定义,判定两个平面所成的二面角是直二面角;第二种方法是根据判定定理,判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.(二)两个平面垂直的性质师:今天我们接着研究两个平面垂直的性质.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.已知:平面α⊥β,α∩β=CD,ABα且AB⊥CD于B.求证:AB⊥β.证明:在平面β内引直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角.∵α⊥β,∴AB⊥BE.

4、又∵AB⊥CD,∴AB⊥β.师:从性质定理可以得出,把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题.例1 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.已知:α⊥β,P∈α,P∈a,a⊥β.求证:aα.师提示:要证明aα,一般用反证法,即否定结论→推出矛盾→肯定结论.下面请同学们写出它的证明过程.其中c为α与β的交线.∵α⊥β,∴b⊥β.又∵P∈α,P∈a,a⊥β,这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛盾.∴aα.师:现在我们来看课本P.44的证明,这种

5、方法叫同一法.什么是同一法呢?(幻灯显示)一个命题,如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的,那么原命题和它的逆命题中,只要有一个成立,另一个就一定成立,这个道理叫做同一法则.在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法.同一法的一般步骤是什么?(幻灯显示)1.不从已知条件入手,而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性;2.证明所作的图形的特性,与已知条件符合;3.因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的,从而推出所作的图形与已知条件要求的是一个东西,由此断定

6、原命题成立.证明(同一法):设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c,根据上面的定理有b⊥β.因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直,所以直线a应与直线b重合.即aα.师:比较反证法与同一法,我们可以知道:凡可用同一法证明的命题也可用反证法来证;反证法可适用于各种命题,同一法只适用于符合同一法则的命题.另外,例1的结论也可作为两个平面垂直的另一个性质,可直接应用.下面请同学们一齐完成例2.(三)异面直线上两点间的距离例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA'的长度为d.在直

7、线a、b上分别取点E、F,设,A'E=m,AF=n,求EF.解:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA'的平面为β,α∩β=c,则c∥a,因而b、c所成的角等于θ,且AA'⊥C.又∵AA'⊥b,∴AA'⊥α.根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α,在平面β内作EG⊥C,则EG=AA'.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△FEG中.EF2=EG2+FG2∵AG=m,∴在△AFG中.FG2=m2+n2-2mncosθ.又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2

8、mncosθ.如果点F(或E)在点A(或A')的另一侧,则EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.师:例2不仅求出两条异面直线上任意两点间的距离公式,还解决了下面的三个问题:(1)证明了两条异面直线公垂线的存在性.(2)证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离最小的.∵AA'=EG,且AA',EG是平面α的垂线,而EF是斜线,∴AA'<EF.如在实际中,两条交叉的高压电线如果放电时,火花正是通过它们的最短距离.(3)也可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题,请看下面练习.(四)练习在60

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