反函数例题讲解

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1、反函数例题讲解例1．下列函数中，没有反函数的是()(A)y=x2－1（x<）(B)y=x3+1（x∈R）(C)（x∈R，x≠1）(D)分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．本题应选（D）．因为若y=4，则由得x=3．由得x=－1．∴（D）中函数没有反函数．如果作出的图像（如图），依图更易判断它没有反函数．例2．求函数（－1

2、≤x≤0）的反函数．解：由，得：．∴1－x2=(1－y)2，x2=1－(1－y)2=2y－y2．∵－1≤x≤0，故．又当－1≤x≤0时，0≤1－x2≤1，∴0≤≤1，0≤1－≤1，即0≤y≤1．∴所求的反函数为（0≤x≤1）．9由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：①把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变量y当作系数，求出x=φ(y)．②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；③依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换x=φ(y)为y=φ(x)．例3．已知函数f(x)=x2+2x+

3、2（x<－1），那么f－1(2)的值为__________________．分析：依据f－1(2)这一符号的意义，本题可由f(x)先求得f－1(x)，再求f－1(2)的值（略）．依据函数与反函数的联系，设f－1(2)=m，则有f(m)=2．据此求f－1(2)的值会简捷些．令x2+2x+2=2，则得：x2+2x=0．∴x=0或x=－2．又x<－1，于是舍去x=0，得x=－2，即f－1(2)=－2．例4．已知函数（x≤0），那么f(x)的反函数f－1(x)的图像是()y（B）x0－1（A）yx01（D）yx01（C

4、）x0－1y9分析：作为选择题，当然不必由f(x)求出f－1(x)，再作出f－1(x)图像，予以比较、判断．由（x≤0）易得函数f(x)的定义域为，值域为．于是有函数f－1(x)的定义域为，值域为．依此对给出图像作检验，显然只有（D）是正确的．因此本题应选（D）．例5．给定实数a，a≠0，a≠1，设函数（x∈R，x≠）．求证：这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形．分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．证明：先求给出函数的反函数：由（x∈R，x≠），得y(ax－1)=x－1．∴(ay－1)x=

5、y－1．①若ay－1=0，则ay=1．又a≠0，故．此时由①可有y=1．于是=1，即a=1，这与已知a≠1是矛盾的，故ay－1≠0．则由①得（y∈R，y≠）．∴函数（x∈R，x≠）的反函数还是（x∈R，x≠）．由于函数f(x)与f－1(x)的图像关于直线y=x对称，故函数（x∈R且x≠）的图像关于直线y=x成轴对称图形．本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P（x，y）是函数f(x)图像上任一点，则点P关于直线的对称点Q（y，x）也在函数f(x)的图像上（过程略）．9例题讲解（反函数）例1．求下列函数的反

6、函数：(1)y=3x－1(x∈R)；(2)y=x3＋1(x∈R)；(3)(x≥0)；(4)(x∈R，且x≠1)．通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y=f(x)看成方程，解出x=f－1(y)，第二步将x，y互换，得到y=f－1(x)，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．如第(3)小题，由解得x=(y－1)2，再将x，y互换，得y=(x－1)2．到此以为反函数即y=(x－1)2，这就错了．必须根据原函数的定义域x≥0，求得值域y≥1

7、，得到反函数的定义域，于是所求反函数为y=(x－1)2(x≥1)．例2．求下列函数的反函数：(1)y=x2－2x－3(x≤0)；(x≤0)，(x＞0)．(2)通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．解：(1)由y=x2－2x－3，得y=(x－1)2－4，即(x－1)2=y＋4，因为x≤0，所以，所以原函数的反函数是(x≥－3)．(2)当x≤0时，得x=y＋1且y≤－1；当x＞0时，得且y＞－1，9所以，原函数的反函数是：x≤－1，x＞－1．例题讲解(反函数）［例1］若函数f(x)与

8、g(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x)=(x-1)2(x≤1)，求g(x). 选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.解：f(x)与g(x)在定义域内互为反函数，f(x)=(x-1)2(x≤1)的反函数是y=1-(x≥0)，∴g(x)=1-(x≥0).说明：互为反函数的图象关于y=x对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f(x)与g(x)互为反函