反函数例题讲解.docx

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1、反函数例题讲解例1．下列函数中，没有反函数的是()(A)y=x2－（x<1）(B)3（x∈）12y=x+1R(C)yx（x∈R，x≠1）(D)2x2(x2)，y(x1).x14x分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．本题应选（D）．因为若y=4，则由2x24，得x=3．x2由4x4，得x=－．1x1∴（D）中函数没有反函数．如

2、果作出y2x2(x，2)的图像（如图），依图4x(x1).更易判断它没有反函数．例2．求函数y11x2（－1≤x≤0）的反函数．解：由y11x2，得：1x21y．∴1－x2=(1－y)2，x2=1－(1－y)2=2y－y2．∵－1≤x≤0，故x2yy2．又当－1≤x≤0时，0≤－x2≤，11∴0≤1x2≤1，0≤1－1x2≤1，即0≤y≤1．∴所求的反函数为y2xx2（0≤x≤1）．由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：①把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变量y当作系数，求出x=φ(y)．②

3、求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；③依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换x=φ(y)为y=φ(x)．例3．已知函数f(x)=x2+2x+2（x<－1），那么f－1(2)的值为__________________．分析：依据f－1(2)这一符号的意义，本题可由f(x)先求得f－1(x)，再求f－1(2)的值（略）．依据函数与反函数的联系，设f－1(2)=m，则有f(m)=2．据此求f－1(2)的值会简捷些．令x2+2x+2=2，则得：x2+2x=0．∴x=0或x=－2．又x－，于是舍去x=0，得x=

4、－，即f－1(2)=－2．<12例4．已知函数f(x)14x2（≤），那么f(x)的反函数－1(x)x0f的图像是()（A）y（B）y01x－10x（C）y（D）y－110x0x分析：作为选择题，当然不必由f(x)求出f－1(x)，再作出f－1(x)图像，予以比较、判断．由f(x)14x2（x≤0）易得函数f(x)的定义域为,0，值域为1,．于是有函数f－1(x)的定义域为1,，值域为,0．依此对给出图像作检验，显然只有（D）是正确的．因此本题应选（D）．例5．给定实数a，a≠0，a≠1，设函数yx1（∈，≠1）．

5、axxRxa1求证：这个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形．分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．证明：先求给出函数的反函数：由yx1（x∈R，x≠1），得y(ax－1)=x－1．ax1a∴(ay－1)x=y－1．①若ay－1=0，则ay=1．又a≠，故1．此时由①可有y=1．于是10yaa=1，即a=1，这与已知a≠1是矛盾的，故ay－1≠0．则由①得xy1（y∈R，y≠1）．ay1a∴函数yx1（x∈R，x≠1）的反函数还是yx1（x∈R，xax1aax1≠1）．a由于函数f(x)与f－1(

6、x)的图像关于直线y=x对称，故函数yx1ax1（x∈R且x≠1）的图像关于直线y=x成轴对称图形．a本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P（x，y）是函数f(x)图像上任一点，则点P关于直线的对称点Q（y，x）也在函数f(x)的图像上（过程略）．例题讲解（反函数）例1．求下列函数的反函数：(1)yx－1(x∈R)；=3(2)yx3＋1(x∈R)；=(3)yx1(x≥0)；(4)y2x3(x∈R，且x≠1)．x1通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y=f(x)看成方

7、程，解出x=f－1(y)，第二步将x，y互换，得到y=f－1(x)，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．如第(3)小题，由yx1解得x=(y－1)2，再将x，y互换，得y=(x－1)2．到此以为反函数即y=(x－1)2，这就错了．必须根据原函数的定义域x≥0，求得值域y≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为y=(x－1)2(x≥1)．例2．求下列函数的反函数：(1)y=x2－2x－3(x≤0)；x1(2)y11x(x≤0)，(x＞0)．通过本例，使学生进一步掌握求反函数

8、的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．解：(1)由y=x2x－3，得y=(x－1)2－2－4，即(x－1)2=y＋4，因为x≤0，所以x1y4，所以原函数的反函数是y1x4(x≥－3)．(2)当x≤0时，得x=y＋1且y≤－1；当x＞0时，得x1且y＞－，y1所以，原函数的反函数是：x1y1x1x≤－1，x＞－1．例题讲解(反函数）［例1］若函数f(x)与g