数学课堂中的“数学化”

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1、数学课堂中的“数学化”　　　　二、“数学化”的过程　　研究儿童的“数学化”，我们要追溯到儿童在学校的最早几年。从数学问题在课堂中出现开始，儿童就开始了数学化的过程。下面，我们从教师的解释、学生的表征和早期的算式三个方面来分析儿童的数学化。　　1.教师的解释　　黑板上画了四只站在电线上的鸟，旁边有三只正飞的鸟。教师的任务是让孩子们把这样一幅图画理解为像7-3=4这样的“算式”。这是一个最初步的数学化问题。在教学中，教师常常把这些复杂的关系分解为一系列的程序或更小的步骤，花费大量的时间解说、指导和纠误，直到全班大多数学生理解了这些关系。下面的教学录像片段典型地反映了这一过程。　　

2、师：在这个式子里，数字"4"的含义是什么？（手指数字"4"）　　生：是不是因为有四只鸟？（提高声音问）　　师：这儿有许多鸟（多于四只），但这四只鸟有什么特别的地方？　　生：（几个学生立即讨论起来）它们站着。它们先来。它们个头比较小。它们睡着了。　　师：那么，式子中数字"3"的含义是什么呢？（指着"3"）　　生：（几个学生）三只鸟在飞。它们刚到这儿。它们去回家。不是，它们飞走了！　　师：好，它们飞走了。那么，我们为什么又在这里写一个减号呢？（指着减号）　　生：因为它们飞走了。　　师：那么等号的意思是……？　　生：（几个学生一起说）它们一共剩多少只？结果……总共剩下多少只？　　师

3、：对。结果总共剩下四只鸟。　　很明显，通过如此的反复问答能够促进学生把图形表达和数式表达联系起来，形成解释规则的能力，在一些学生的思维中完成了最为初步的数学化。为此，教材的编写者也进行了很多努力。他们通常用简洁易读的方式组织图片，把要数的物体排列好，避免干扰项，用最简单的和最显眼的特征区别它们，并把相同任务的内容分组。　　2.学生的表征　　实际上，师生的反复问答常常只能使那些与教师思维方式相近的学生较好地完成数学化，最根本的原因是学生对图片的不同表征。研究表明，学生实现图片到算式的转化是一个解释的推理过程。在学习的过程中，学生经常要对图画中的数学关系进行推断，然后与教师及其它

4、同学的判断进行比较性反思，最终形成自己的数学模式。比如，"1+1=2"表示一只鸟停留，一只鸟飞来。"4-3=1"表示留下的鸟比飞走的鸟少3只。“7×2=14”表示7只鸟共有14条腿。飞走的鸟（离开一个群体）可以形成减的模式，这些鸟加入另一个群体又形成了加的模式等。　　儿童一旦完成了图画与数学符号关系之间的转化，并与“公认”的关系一致，就完成了这方面的数学化。但这一过程是缓慢而且复杂的。对于不同的学生而言，没有一对一的现实图片与数学表达符号之间的转向，同一幅图画可以被不同的学生理解成多种不同的解释。值得注意的是，一些教师把这些早期的表征和图画看作是不言自明的，用许多武断的指令—

5、—“就看这儿”“你只需看这儿”引导学生。这种模糊的解释超越了学生的接受力而成为一种障碍或对本意的理解产生干扰。有时尽管实属无意，但却压制了学生数学概念和批判性推理能力的形成，阻碍了学生灵活的意义归属能力的发展，也剥夺了他们运用的乐趣。学生最终形成的不是数学化的能力和思维，而是一些机械的惯例和规则。　　3.早期的算式　　与表征数学概念相比，早期的“算式”是更为复杂的一种数学化过程。我们的调查表明，大多数小学数学教材最先介绍的是像"3+2=5"这样的算式。先明确运算操作，包括加、减、乘、除；而后是等号，明确等号的意义；再后是结果。这一顺序被认为是一个对操作和结果的一般描述，且符合

6、我们写的顺序。教师试图把这些早期的算式概括出来，使学生能够理解和接受时，相关的问题就出现了。通常，教师先教给学生我们常用的算式"3+2=5"，之后变化元素排列的顺序成为"5=3+2"，并解释说：“现在我们一共有五颗珠子，其中有三颗红色的和两颗绿色的，现在我们把它写下来。”这里教师没有对话里这些元素的顺序和写的顺序进行分析，因此，许多孩子毫不犹豫地写下了"5+3=2"，表现出他们业已形成的机械的书写算式的习惯模式。教师再讲解和引导，反复强调“＋”号的意义和“＝”号的意义，却毫无作用。可见，如果学生习惯了一个模式，再用与其不同的模式就需要花费时间；如果不采取一定措施，另一个训练的

7、结果会和前面训练的结果一样糟糕和有局限。　　数学教学是一种数学化的过程。在数学化过程中师生共同努力，相互作用，共同完成数学化的过程。　　　　三、影响“数学化”的心理与社会因素　　为什么一些学生能够顺利地完成数学化的过程，而一些学生不能完成自己的数学化？我们分别从建构主义心理学和社会学两个角度考察，把这些因素概括为以下四个方面。　　1.教师的语言　　基础教育阶段的每一个数学化活动都必须从日常经验和语言开始，教师的语言非常重要。首先，教师（尤其在基础教育阶段的教师）应该用简单的日常用语进行陈述数学含义的训练