函数图像的变换-

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1、函数图像的变换函数图像的变换是研究函数性质的一项重要工具，高考要求能够利用函数的奇偶性及图像的对称性描绘函数的图像，能够利用函数的图像研究函数的性质，通过函数的图像也可以进一步加深对函数性质的理解。总之，函数的性质和图像二者相辅相成，缺一不可。在复习时我们应突出函数图像的几何变换，以便更好的研究函数的性质。　　　　1平移变换　　　　①y=f（x）的图像，向右平移a个单位（a>0）得到y=f（x－a）　　②y=f（x）的图像，向左平移a个单位（a>0）得到y=f（x＋a）　　③y=f（x）的图像，向上平移b个单位（b>0）得到y=f（x）b　　④y=f（x）的图像，向下平移b个单位（b>

2、0）得到y=f（x）－b　　⑤y=f（x）的图像，按向量（a,b）（a>0,b>0）平移得到y=f（x－a）＋b　　⑥y=f（x）的图像，按向量（a,b）（a0,b>0）平移，即向右平移a个单位，向上平移b个单位利用上边规则“正减”　　所以y－b=f（x－a）即y=f（x－a）＋b　　2对称变换　　y=f（x）y=－f（x）　　y=f（x）y=f（－x）　　y=f（x）y=－f（－x）　　y=f（x）y=f（2a－x）　　[f(ax)=f(a-x)与y=f（x）也关于x=a对称]　　y=f（x）2b－y=f（x）　　y=f（x）y=f－1（x）　　y=f（x）y=f（

3、x

4、）　　y=f

5、（x）y=

6、f（x）

7、　　y=f（x）2b－y=f（2a－x）　　3伸缩变换（主要指三角变换）　　y=Af（x）（A>0）的图像，可将y=f（x）图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到。　　y=f（ax）（a>0）的图像可将y=f（x）图像上所有点的横坐标变为原来的1/a，纵坐标不变而得到。　　例1：将函数y=log3(x－1)图像上各点的横坐标缩小到原来的1/2，再向右平移半个单位，所得图像的解析式为　　y=log3(x－1)y=log3(2x－1)y=log3[2(x－1/2)－1]　　（1）伸缩变换：y=log3(x－1)的图像所有点横坐标变为原来的1/2，即得到y

8、=log3(2x－1)　　（2）平移变换：y=log3(2x－1)向右平移半个单位，根据“左加右减”，所以变为y=log3[2(x－1/2)－1]＝log3（2x－2）如图：　　　　　　解评：所有变换均是相对于x、y而言，所以加减乘除运算也是相对于x、y而言　　例2：把函数y=log2(x－2)＋3的图像按向量平移得到y=log2(x＋1)－1的图像，则为　　y=log2(x－2)＋3y=log2(x＋3－2)＋3y＋4=log2(x＋1)＋3　　（1）平移变换：y=log2(x－2)＋3向左平移3个单位即y=log2(x＋3－2)＋3（左加右减）　　（2）平移变换：y=log2(x＋

9、1)＋3向下平移4个单位y＋4=log2(x＋1)＋3（上减下加）　　∴=（－3，－4）　　例3：若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），它们的图像关于直线y=x对称，那么函数y=f（x＋c）（C∈R）与函数y=f-1（x＋c）的图像关于那条直线对称？　　解：设P(a,b)是函数y=f（x＋c）上任意一点，则b=f(ac)而点P(a,b)关于y=x＋c的对称点Q(b－c,a＋c)　　∵函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x）　　∴由b=f(ac)得ac=f-1（b）＝f-1[(b－c)＋c]　　∴点Q(b－c,a＋c)在函数y=f-1（x＋c）的图像上　　反之，设M(m,n)，

10、点M是y=f-1（x＋c）图像上任意一点。　　则n=f-1（m＋c），关于直线y=x＋c得对称点N为（n－c，m＋c）　　∴y=f-1（x）的反函数为y=f（x）　　∴由n=f-1（m＋c）得m＋c＝f(n)＋f[(n－c)＋c]　　∴点N(n－c，m＋c)在函数y=f（x＋c）的图像上　　综上，函数y=f（x＋c）与y=f-1（x＋c）的图像关于直线y=x对称。　　　　“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”