第二章拉普拉斯变换 《控制工程基础》高等教育出版社(2010年6月出版,彭珍瑞主编)

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1、微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到一些困难。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的:用它来研究系统动态特性.因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。主要内容第一节拉氏变换的定义第二节典型函数的拉氏变换第三节拉氏变换的性质第四节拉氏反变换第五节用拉氏变换解微分

2、方程第一节拉普拉斯变换的定义对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（简称拉氏变换）或F(s)定义为(2-1-1)原函数象函数一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)在t<0时，(2)在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；(3)加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常随着时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,即单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数等。第二节典型函数的拉氏变换1、单位脉冲函数性质其拉氏变换且1图2-2-1单位脉冲

3、函数2、单位阶跃函数图2-2-2单位阶跃函数10t其拉氏变换3、单位斜坡函数图2-2-3单位斜坡函数其拉氏变换4、等加速函数其拉氏变换5、指数函数其拉氏变换其拉氏变换6、正弦函数其拉氏变换余弦函数注:欧拉公式设则1、线性性质－－齐次性和叠加性第三节拉氏变换的性质时域位移定理复数域位移定理2、位移定理3、微分性质推论若特别地，当4、积分性质推论若特别地，当5、初值定理6、终值定理且F(s)在s平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则函数的终值为7、卷积定理则若卷积符号第四节拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。求拉氏反变换的方法有：(1)查表法(2)部分分式法(3)

4、有理分式法一般象函数可以表示成如下的有理分式分母进行因式分解1、当A(s)=0无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为因此,原函数为例1已知,试求原函数.解：写成部分分式形式课堂练习：求F（s）的拉氏反变换2、当A(s)=0有重根时，F(s)可表示为…式中,为重极点对应的待定系数其余系数的求法与第一种情况所述的方法相同因此，的拉氏反变换为例2已知，试求原函数f(t)。解：第五节用拉氏变换解微分方程(3)取拉氏反变换，得微分方程解。利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)由代数方程解象函数；解：将初始条件代入得例3求微分方程满足初

5、始条件的解。谢谢！