数学基础-拉普拉斯变换

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1、数学基础-拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换利用拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换拉氏变换的定义:拉氏反变换定义：f(t)=L-1[F(s)]条件：分段连续§常用函数的拉氏变换拉普拉斯变换(2)单位阶跃函数u(t)f(t)t01(1)单位脉冲函数f(t)t0(3)指数函数-atef(t)t0(4)正弦函数Sinωt，余弦函数Cosωt欧拉公式拉普拉斯变换拉普拉斯变换单位斜坡函数t单位加速度函数f(t)t0f(t)t212t拉普拉斯变换拉普拉斯变换§拉氏变换性质(a)线性叠加原理(b)衰减定理(位移定

2、理)衰减正弦函数衰减余弦函数(c)延时定理0t拉氏变换性质拉氏变换性质(d)微分定理其中：推导：整理可得：设则又所以……若初始条件为零，即则拉氏变换性质(e)积分定理其中：推导：整理可得：设则又所以……若初始条件为零，即则拉氏变换性质(f)初值定理(g)终值定理拉氏变换性质(h)尺度变换定理拉氏变换性质(i)微分性质……例：(i)积分性质拉氏变换性质即(j)周期函数的拉氏变换拉氏变换性质(k)卷积定理0Pn(t)tthn(t)任意激励信号f(t)的零状态响应等于该激励信号与系统冲击响应的卷积积分任意信号f(t)可

3、分解为宽度为的无穷多个窄脉冲信号的迭加拉氏变换性质§拉氏逆变换:拉氏逆变换零点极点例拉氏逆变换1、F(s)中有不同的单实极点例拉氏逆变换1、F(s)中含有共轭复数极点(其余为单实极点)由实虚部分别相等得拉氏逆变换例拉氏逆变换3、F(s)中含有多实极点(其余为单实数极点)拉氏逆变换3、F(s)中含有多实极点(其余为单实数极点)例拉氏逆变换§利用拉氏变换解微分方程:设对等式两边进行拉氏变换并考虑初始条件例线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s求解拉氏反变换微分方程的解利用拉氏变换解微分方程例设对等式两边进行拉氏变

4、换并考虑初始条件利用拉氏变换解微分方程例设对等式两边进行拉氏变换设初值为0