[数学]拉普拉斯变换论文

《[数学]拉普拉斯变换论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨摘要：通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分（或）积分方程。关键词：拉普拉斯变换线性方程原函数像函数反演（一）拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数在任一区间满足狄里希利条件，并且在区间上绝对可积。这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条

2、件。因此需要引入——拉普拉斯变换。拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻的值，而求解它在初始时刻之后的变化情况，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置为了获得宽松的变换条件，把加工为，这里是收敛因子，就是说，正的实数的值选得如此之大，以保证在区间上绝对可积，。于是，可以对实施傅里叶变换将记作，并将改记作，则（1）其中积分称为拉普拉斯积分，称为的拉普拉斯变换函数.（1）代表从到的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），称为拉普拉斯变换的核。的傅里叶逆变换是XI咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）即

3、由，有所以又称为像函数，而称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为（一）拉普拉斯变换的基本性质（1）线性定理若，，则（2）导数定理（3）积分定理（4）相似性定理（5）位移定理（6）延迟定理(7)卷积定理若，，则其中XI咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）（一）拉普拉斯变换的反演（1）有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。例1求的原函数解；先将这个有理分式分解成分项分式，==即得（2）查表法许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，从表上直接查找很方便，

4、对于一般常见的像函数，都能查出其原函数，有些像函数，虽然不能直接从表中查出其原函数，但可以利用延迟定理，位移定理和卷积定理，在配合查表而解决其反演问题.例2求和的原函数解；先将两函数里的位移为查表得再应用位移定理，即得XI咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）（一）用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可以归纳为以下”三”步，也就是三步求解线性微分，积分方程。（1）对方程实施拉普拉斯变换，这变换把初始条件也一并考虑。（2）从变换后的方程解出像函数.。（3）对求出的像函数进行反演，原函数就是原来

5、方程的解。例1求解交流电路的方程解；第一步对方程实施拉普拉斯变换得第二步从变换后的方程解出像函数第三步对像函数进行反演。由于引用卷积定理完成反演，==XI咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）=所得结果的第一部分代表一个稳定的（幅度不变的）振荡，第二部分则是随时间而衰减的，稳定的振荡部分还可以如下改写；===，其中电工学里常用的复数主抗法或矢量法只给出这个形式的稳定振荡，没有考虑随时间衰减的部分。例2两个线圈具有相同的R,L和C.两线圈之间的互感系数为M，在初级线路有直流电源，其电压为,今接通初级线路中的电钥,问次级电路中的电流的变

6、化情况如何？解；先写出电路方程(2)（3）还有初始条件第一步对方程进行拉普拉斯变化得到代数方程XI咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）(4)（5）第二步联立（4）（5）求解像函数第三步进行反演的把它分解为分项分式，查表进行反演得到其中，（一）总结XI咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）留数法在拉普拉斯反变换中的应用摘要：本文研究了留数法求解；拉普拉斯反变换的基本原理，分析表明，留数法用于求解反变换有着归纳详尽、使用灵活方便等特点，对实际因果系统的分析求解有着很高的实用价值。关键词：留数法；拉普拉斯反变换；像函数；原函数引言

7、采用留数法计算拉氏反变换（或者z反变换）是一种很重要的用数学方法求解系统变换域问题的方法。本文着重介绍了留数法进行拉普拉斯反变换的求解，这不仅可以比较详尽的分析问题，对于理解和设计实际问题也有着借鉴价值。正文一．留数定理《复变函数》中，根据柯西定理，如果被积函数f(z)在回路l所围的闭区域上是解析的，则回路积分等于零。如果l包围的区域有f（z）的奇点，则需要应用留数定理来求解。根据重要例题结论：可以推导出XI咸阳师范学院2011届本科毕业生论文（设计）Resf(z)为函数的留数。留数定理即复变函数的回路积分为被积函数在回路所围区域上各奇点

8、的留数之和。关于留数的具体求法在课程《数学物理方法》中已进行过深入研究与练习，在此不再赘述。二、留数法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换即由像函数反求原函数的过程。通常有两种求拉普拉斯反变换的方法