微积分在中学数学中的应用

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1、微积分在中学数学中的应用胡燕华摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。木文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，乂使微积分对中学数学的指导作用得到了兵体说明。这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。关键词：微积分；切线方程；单调性；极值

2、我国现在普遍使用的高中数学教材（人民教育出版社）中，增加了微积分的部分知识。为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值.•二是使学牛.掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工兵，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。木文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点

3、是学生熟悉,易于掌握。但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特別是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。例1.求++1的极值解：=，令=0得解得或由可得或，因此：当吋，得极小=;当吋，得极大=3;当吋，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当吋，得极小=;当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性吋，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。若，则在该单调减少。该方法的优点是直

4、观易懂，其缺点是函数表达式较复杂时，判断的正负比较困难，经常要求运用较高技巧，且适用面也较窄。运用微积分方法讨论函数单调性吋，只需求出，再考虑的正负即可，该方法简便易行，不需多大技巧，iL适用面也较宽。例2.判定函数和在上的增减性。解：令，得或；令，得，所以在和内单调递增，在内单调递减。故在内单调递增。以上微积分法讨论函数和的单调性吋，均无需多大技巧，且过程类似，都较简单。但若用初等方法讨论，不仅需要一些技巧，而且解法也不能一样，较繁难些。对于函数，令，则故在内单调增加。对于函数，若同样令，则此时，就不容易判断单调性了。从这里就可明显看到微积分方法讨论函数单调性的优越之处。三、不等式的证

5、明不等式的教学地位主要体现在解各类方程，有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。初等证法中，有时需要较高的技巧，注意恒等变形的条件。利用微积分的思想可以使不等式的证明思路变得简单，技巧性降低。常见的证法冇利用微分中值定理、函数的单调性、极值的判定法、定积分的性质、级数等。1.利用函数的增减性证明不等式函数在区间可微，则在严格递增(递减)充要条件：或例3.证明W努力不等式己知，且且，求证高中数学教材用数学归纳法证明证明：当吋，不等式成立当吋，不等式成立假设当时，仍然有不等式成立当时也可用单调性证明(证明略)而运用更广泛的贝努力不等式：己知，iL求证显然该命题不能用数学归

6、纳法证明，而用单调性易证。证明：令则已知(1)当时，在严格增加，ii在连续，，从而有即(2)当时，因此在严格减少，从而即由⑴⑵不等式得证。该不等式再推广：己知求证（证法同上，证略）又例如不等式iL可推广为：，有，这些推广的结论学生可以直接应用1.利用极值证明不等式在某邻域内，函数取得极大值，极小值，利用极值的特点证明不等式.例4.设，，证明：证明：设令=0得,即,在内，可能成为极值的函数值是,因故将比较，得2.利用函数凸凹性的特点证明不等式如果函数是凸函数，则在上有如果函数是凹函数，则在上有，利用这一特点证明不等式。例5.若且求证：证明：设，则，于是在（0,∞）凸函数，下面用

7、初等证法证明：令在初等证法中，做到这一步学生往往束手无策，很容易想到再次运用基本不等式，贝4要比小得多，此路不通的原因是忽视了这个条件，表明变元的平均值为此吋可令，既满足的条件，又可减少变元个数，便于操作由此可见，运用微积分解则少了繁琐的考虑，简单方便。3.利用微分中值定理证明不等式微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。如：利用在（，）内的特点证明不等式。例6.证明：当时证明：设，它在区间，满足拉格朗日中值定理的