浅谈微积分在中学数学教学中的应用

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1、浅谈微积分在中学数学教学中的应用初等数学是高等数学的基础，二者有若本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的木质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。作为屮学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学W题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则从于解决的屮学数学问题，从Ifu拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后冰能学习和

2、掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展屮微积分都占有重要的地位。一.用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到阙满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题U再复杂一些，就更闲难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的丄作。例1(方程根的讨论)求证(H)(X-〃-/?)=1有两个和异实根，并且~个根大于6Z，令~个根小于6Z

3、.证法一(釆用初等方法证明)证明将方程=1整理的x—+b^x+(tz~+ab-1)=0...A=(2tz+b)2-4(a2+ab-)二4«2+4ab+b2-4a2-4ab+4=Z?2+4>0所以方程夼两个和异的实根2a+b+y/b2+42a+b-yjb2+42a+b+yjb2+4b+^Jb2+4x,-a=a=1222ci+b—y/b^+4b—+4x7-a=a="22因为Z?2+4〉/?2,所以士2+4〉b.@jltx,>a，x2

4、)=+G0，所以布区间oc，6f)和(f/，+oo)内分另ij存在汉和夕，使x->0/(a)〉0，/(/7)〉0由连续闲数的介值性定理，在区间和内分别存在七和七，使的/(xJ=0，/(x2)=0这表明是方程的两个相异实根，a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论.因为/(6Z+/7)=-l<0所以6Z+/7同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程-0=1的右端对干木题的结论来说并非是至关重耍的，关键是方程的右端必须是一个正数.于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设e〉0，则方程-«-/?)=c必

5、有两个相异实根，.目.均介于方程的W根之间.注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有W个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与〃比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦.而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。例2(不等式的证明)若x〉0，求证：A

6、

7、JA

8、(%+y-z)2-(y+z-x)2-(z+x-y)2=24-yz上式;两端取不定积分得/(x)=^yzdx=24x>7+C...(x+v+z)3-(x+>'-z)3-(y+z-%)3-(z+-y)3=24x>7+C令x=0得C=()’+z)3-()，_z)3_()，+z)3_U—)，)3=0故原式=24xyz注对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展丌然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。二.微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论

9、。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖识定理的证明。我们可以用这些方法解