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《利用几何画板探索函数的单调性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、利用几何画板探索函数/(X)=6ZX+A的单调性二十一世纪人类已进入信息吋代，以计算机和网络为核心的现代科学技术不断发展，其应用已逐步进入教育领域。使我们的教育由“一支粉笔、一块黑板、一本书”的枯燥无味的课堂教学走向生动活泼的“屏幕教学”，真正向创新型教育教学发展。数学作为一门独立的自然科学，有它自身的特点、体系和规律，如何利用多媒体进行辅助教学，探讨多媒体教学模式已成为教育界广泛关注的话题。h在研宄函数问题时常遇见可转化为形如“八;0=似+£0^力0,6Z，6e/?)”的X题目，因此在教学时采用Y专题研究的形式，使学生能/解并掌握此类函数的单调性。以往的学生在解决这一类问
2、题时，如当同号时，通常是用均值不等式处理，但往往又会遇到不能处理的情况，比如求函数y=Z+S在ze[2,4]上的最t值；而当异号，则常不知从何下手。为此，我利用多媒体技术，应用几何画板软件带领学生进行了一次有益的探索实验。主要过程如h一、提出问题：h请用几何画板画岀函数f(x)=ax+-(ab^O,a,bER)图象，观察函数随《，/?小x断变化时，看看可发现什么数学规律并尝试给出证明(事先我把全班分成Y几个小组，0的是培养学生团结合作的精神)。同学们很快动手操作，学习积极性非常高，此时我在学生操作的过程中巡视，有的小组很快发现了规律，还不到20分钟各个小组基本上都找到规律，
3、然后小组代表发言总结。学生代表甲：我们发现函数的图像是很对称的，有点像老师批改作业时打的勾，而且当同为正数时函数图像只在一和三象限，当仏/;同为负数时，函数图像只在二和四象限。师：回答得很好，他们考虑到两种不同的情况，对图像的特点认识得比较到位，因此对这两类函数的单调性就判断出來了，那你们能说说它们的单调区间吗？(学生迟疑了)生乙：那需要找出两个拐点坐标啊！师：这个问题提得很好，那有同学找到这个拐点坐标与间的关系了吗？（大家开始思考，老师启发可否用均值不等式寻求拐点的横坐标？学生在教师的提醒下立即展开研究，）生丙：我发现拐点的横坐标x=师：非常正确。那还发现苏它不同情况吗。
4、？（马上又有同学举手）生丁：我们画出的图像和他们画出的不一样，当6Z〉0，/7<0吋，函数始终单调递增，当G<0，/7〉0时，函数始终单调递减。（有的小组也表示还有不同的图像，于是经过大家的争论，得到了四种不同的图像）师：大家总結得很好，函数/'（%）=or+—（6//?^0,（3,/?G/?）型有四类不同的阁X象（学生自己归纳总结如下）二、得出结论从图中分析总结出函数/(x)=ox+1⑽矣0,tz，6e/?)的单调性:(1)当6T，/?同号时:M]［制〔。凋)/w6Z>0,/?>0増减减±汽a<0,/?<0减增增减(2)当(3，/?异号吋：①U〉0，/;<0时，分别在(-
5、00,0)及(0，+oo)上单调递增;②U<0,/?〉0时，分别在(-OO,0)及(0,+OO)上单调递减。在学生根据图象发现上述性质后，要求根据函数单调性的定义给出证明，旨在培养学生严密的数学推理能力。三、运用函数fM=ajc+-(ab^^a,bE/?)的单调性尝试解决如下问题：X1.求最值?r2-3例1:求=的最小值。a/x2+2解：令Vx2+2=，d原函数化为t由结论知，y=在(0，+oo)内是增函数，于是在［7^，+oo)内也是增函数。t所以，当z=a/^，即*=0时，jmin=-—
6、—2.证明不等式例2:设是正数，求证：+的充要条件是对任意的％〉1,有X.ax+〉
7、/?。x—l证明：OX+—对任意的X〉1成立等价丁•(6LT+—>b,x-x-1作函数+—令l=那么函数可化=w+f++x-ix-lu由结论知，W+■在［V^，+oo)内是增函数，从而y=+6Z+1在［yfci,+oo)内uu是增函数。BP%=1+—时,yja少’min=a+2/^+1=(▲+I)2，于是y>/?<=>{y［a+1)2〉/?<=>V^+1〉VF。1.解含参数的方程问题例3:已知方程1(^0-3)-1(^(%+2)-1<^0¥-1)=1(0<“<1)冇实数解，求“的取值范围。解：当x〉3吋，原方程等价于x-3=“(x+2)Cy-l)G(X+2)(A’-1)
8、=丄，x-3a取y=(x+2)(x_1)令义―3=w，w〉0，可得y=w+^+7，x-3u由结论知：当w=时，ymin=2Vio+7,于是当w〉0,即；c〉3时，W-=y>2Vio+7,得0<心7-2派a92.解含参数的不等式问题例4:己知不等式(6/-1)%2-ox+6/-l<0，当x《-2时恒成立，求实数6/的取值范围。解：由丁•又2-x+l〉0,所以原不等式《a{x2-x+1)X——X+1一•¥+1«(5+
9、;)min>,取，⑺=5+1.，有/(x)=i+1由结论知，JC+1-1在(-00
