利用几何画板探索轨迹的教学

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1、[中学数学论文]利用几何画板探索轨迹的教学——研究性学习一得研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点

2、体会。教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子：如图1，过椭圆()的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。轨迹1过原点O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。图1图2几何画板演示：拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M，得到点M的轨迹是一个小圆。如图2“怎样求出这个小圆的方程？”学生：按一般思路，假设弦AB所在直线的斜率为k，则AB的垂线的斜率为，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(

3、即垂足)M的坐标，最后消去参数k就得到点M的轨迹方程。哇！好复杂。学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师：“你为什么不动手做？”学生：“我在想……这个轨迹是一个圆，而且是以OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法：因为OM⊥AB，所以

4、OM

5、2+

6、F1M

7、2=

8、OF1

9、2，若设点M的坐标为(x，y)，点F1的坐标为(c，0)，则用心爱心专心x2+y2+(x－c)2+y2=c2，即。这就是所求的轨迹方程。”“啊！这么简单？”同学们都惊讶

10、起来。马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点F1的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是‘给定两点O与F1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。’这当然很容易解得。”教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下：轨迹2如图3，求弦AB中点P的轨迹方程。”“猜猜看，点P的轨迹是什么？”不少学生已经利用几何画板演示了出来：几何画板演示：拖动主动点A，得到点P的轨迹是一个小椭圆

11、，并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即半焦距。如图4。“真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。“怎样求这个小椭圆的方程？”教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生图3对这类问题无从下手。教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x，y)，因此先设P点坐标为(x，y)。要建立点P的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中点F1是定点，A、B、P都是动点，但点A是主动点，引起点P运动的原因是由于点A在椭圆上运动。因此要找到点P与A、B、F这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。

12、”“点P与A、B两点的坐标的关系怎样？”学生：“根据中点坐标公式得到，。”“如何将A、B、P、F1这四点的坐标联系起来？”“利用直线的斜率。”“直线AB的斜率怎样表示？”“有，还有。”“如何得到？”“……”“A、B两点在哪？满足什么方程？”图4“在椭圆上。满足，。”“知道怎样求了吗？”学生很快得到下列解法(经过整理)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，，则，，用心爱心专心因为点A、B都在椭圆上，则，，两式相减得，于是有，化简得，此即为所求的轨迹方程。教师：“以上解法是很典型的。这里设点A、B的坐标，但并不需要求出，只是利用A、B的坐标进行过渡。这是

13、解析几何中常用的一种求轨迹方法——设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？”一学生：“因为直线AB经过点F1，可以设直线AB的方程为y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出A、B两点的坐标……”另一学生：“不必解出A、B的坐标，将直线AB的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点A、B的横坐标x1，x2，正好可以利用韦达定理得到，，将点A、B的横坐标都表示为直线AB的斜率k的函数，消去参数k就行了。”教师：“很好。请同学们将解法写出来。”以下是学生的另一种解法(经整理)：解法二：假设直线AB的斜率为k，则直线