初中数学联赛专题讲座—几何部分

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1、初中数学联赛专题讲座几何一、竞赛大纲要求:1．三角形中的边角之间的不等关系。2．面积及等积变换。3．三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。4．相似形的概念和性质。5．圆，四点共圆，圆幂定理。6．四种命题及其关系。二、历届联赛几何试题情况分析：2008年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2007年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2006年，选择题1个，填空题1个，解答题2个。2005年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2004年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2003年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2002年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。

2、2001年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2000年，选择题2个，填空题0个，解答题1个。三、例题分析(08)如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（）（A）（B）4（C）（D）【解】因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=。在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=；(08)在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（）（A）

3、BM>CN（B）BM=CN（C）BM

4、=135°，则四边形AMCN的面积为。【解】设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，∴MB=MO–OB=。又∠ABM=∠NDA=135°，∠NAD=∠MAN–∠DAB–∠MAB=135°–90°–∠MAB=45°–∠MAB=∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=∙BA=×1=，根据对称性可知，四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2××MN×AO=2××(++)×=；(08)如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC。（1）证明：点O在圆D的圆周上；（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。【解】（

5、1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB=BC，所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC，因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB=90°–∠OBA=90°–∠OBC=∠DBO，所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上；（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC。设AC=2y（0

6、，即=，故r=，所以r2==∙=∙()3≥，即r≥，其中等号当a=y时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为。(07)已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（）（A）30°.（B）45°.（C）60°.（D）75°.【解】锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则//，//，则，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故选（C）.(07)设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为（）（A）.（B）.（C）.（D）.【解】分别延长、、，与△的三边、、交于点、、，由于、、分别为△、△

7、、△的重心，易知、、分别为、、的中点，所以.易证△∽△，且相似比为，所以.所以.故选（A）.(07)已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为____4_____.ABCDEFGMN【解】延长交⊙于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.(07)如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.【解】设与交于点，∵//，∴△∽△，∴,∴.又∵//，