动能定理和功能原理

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1、动能定理和功能原理一.教法建议【抛砖引玉】在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识──“动能定理”和“功能原理”。具体的教学过程请参考下列四个步骤：第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度计算式。如图5—5所示：物体沿着不光滑的斜面匀加速向上运动，通过A处时的即时速度为v0，通过B处时的

2、即时速度为vt，由A处到B处的位移为S。通过提问引导学生根据vt2－v02=2as写出：①第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解，说明物体的受力情况。图5─6是物体的受力分析图（这个图既可以单独画出，也可补画在上图的A、B之间），物体受到了重力mg、斜面支持力N、动力F、阻力f。由于重力mg既不平行于斜面，也不垂直于斜面，所以要对它进行正交分解，分解为平行于斜面的下滑分力F1和垂直于斜面正压力F2。然后说明：物体在垂直斜面方向的力N=F2；物体平行斜面方向的力F＞f+F1(否则物体不可能加速上行)，其

3、合力为：②第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。若已知物体的质量为m、所受之合外力为、产生之加速度为a。则根据牛顿第二定律可以写出：③将①、②两式代入③式：导出：④若以W表示外力对物体所做的总功⑤若以Eko表示物体通过A处时的动能，以Ekt表示物体通过B处时的动能则：⑥12⑦将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：W=Ekt－Eko若以△Ek表示动能的变化Ekt－Eko则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：W=△Ek它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物

4、体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下：④为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。我们知道，当斜面的底角为θ时，下滑分力F1和重力mg的关系如下：（前面已有⑤、⑥、⑦式）⑧上式中sinθ如何表达呢？请看图5—7：物体在A处时的高度为h0，在B处时的高度为ht，则根据中学数学中所学过的三角函数知识可以写出下式：⑨将⑨式代入⑧式后进行推导：⑩将⑩式代入④式后进行推导：若以

5、代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：Fs－fs=△EK+△EP它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：⑿若以代入⑿式，就可以写为：12Fs－fs=Et－E0再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：WF=△E它的物理意义是：外力对物体对所做的总功WF（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量△E。（当WF＞0时，△E＞0，机械能增加；当WF＜0时，△E＜0，

6、机械能减少。(请读者注意：“功能原理”中的WF与“动能定理”中的W是不相同的！我们将在后面的“指点迷津”中进行说明。)在上面所推导出的关于“功能原理”的各数学表达式中，虽以WF=△E最为简练，但在实用解题中以⑾、⑿两式最方便，在后讲述的“学海导航”和“智能显示”栏目中将会看到。【指点迷津】1.有没有更简单的方法推导出“动能定理”？有。可以采用“物体在水平拉力作用下沿光滑水平面匀加速运动”为例进行推导，具体过程如下：如图5—8所示：质量为m的物体在一个水平动力F作用下，沿着光滑的水平面匀加速前进，通过A处简

7、便方法，又何必在“抛砖引玉”中介绍用斜面推导的比较复杂的方法呢？其原因如下：①在水平面推导法的过程中只有动能的变化，而没有势能的变化，这会使一些中学生误认为“动能定理”只适用于解答没有势能变化的单纯的动能变化问题，这显然是不对的！若采用斜面推导法，学生就一目了然，能全面正确地理解“动能定理”的适用范围了。②采用水平面推导法只能推导出“动能定理”，而不能推导出“功能原理”；采用斜面推导法能在导出“动能定理”的基础上继续导出“功能原理”，从而使学生获得更多的知识，也有益于提高学生的解题能力。③采用斜面推导法涉

8、及的物理知识和数学方法较多，能够培养学生“运用数学解决物理问题的能力”。2.“重力对物体做功”和“物体重力势能的变化”有什么关系？重力对物体做功，可以使物体的重力势能发生变化。当重力对物体做正功时（重力是动力），物体的重力势能减少。例如：物体沿竖直方向下降；物体沿斜面下滑……属于这种情况。当重力对物体做负功时（物体克服重力做功），物体的重力势能增加。例如：物体沿竖直方向上升；物体沿斜面上升……属于这种情况。下面我们推导“重力对