2008-2009学年第一学期随机数学(b)期末考试试卷(a卷)答案

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1、2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案北京交通大学2008~2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案一．（本题满分8分）掷两颗均匀的骰子，记，．分别计算与．解：掷两颗骰子，样本点总数为．事件含有个样本点，事件含有个样本点．所以，．又事件含有个样本点，所以．所以有，．二．（本题满分10分）⑴写出随机事件与相互独立的定义（4分）．⑵设随机事件满足：，证明：随机事件与相互独立的充分必要条件是．（6分）解：⑴如果随机事件与满足：，则称随机事件与相互独立．⑵必要性：因为随机事件与相互独立，

2、而且，所以．所以；．第8页共8页2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案所以有．充分性：由于，所以有．因此有，即，整理，得，这表明，随机事件与相互独立．三．（本题满分10分）玻璃杯成箱出售，每箱只，假设各箱中有只，只，只次品的概率分别为，，，一顾客欲购买玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而该顾客随意从中取出只玻璃杯查看，若这只中无次品，则买下该箱产品，否则退回．试求：⑴顾客买下这箱产品的概率；（5分）⑵在顾客买下的这箱产品中，确实没有次品的概率．（5分）解：设：，，．⑴由全概率公式，得；⑵由Ba

3、yes公式，得．四．（本题满分10分）设随机变量的密度函数为，．试求：⑴（6分）随机变量的数学期望与方差；⑵（4分）随机变量的分布函数．解：第8页共8页2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案⑴．．⑵当时，；当时，．所以有．五．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间（单位：分钟）的密度函数为．一顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．（5分）⑵若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理

4、由推断该银行的服务十分繁忙．（5分）解：由于随机变量服从的指数分布，所以的概率密度函数为．⑴⑵设表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则．所以，．这表明，第8页共8页2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙．六．（本题满分15分）设与是相互独立且服从同一分布的两个随机变量．其中的分布律为．又设，．⑴写出二维随机变量的联合分布律（5分）；⑵分别求出随机变量与的边缘分布律（2分）

5、；⑶判断随机变量与是否独立（4分）；⑷求协方差（4分）．解：⑴由与的取值都是，可知与的取值也是．；；；；；；；；；因此二维随机变量的联合分布律及与的边缘分布律为第8页共8页2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案⑶由于，所以与不独立．的取值为，其分布律为123469所以，；；，因此，．七．（本题满分10分）某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为元、元、元和元．并且这种快餐套餐售出的概率分别为、、和．若某天该快餐店售出套餐份，试用中心极限定理计算：⑴该快餐店这天收入至少为元的概率．⑵元套

6、餐至少售出份的概率．（附，标准正态分布的分布函数的部分值：解：⑴设表示售出一份套餐的收入，则的分布律为则，第8页共8页2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案，．令表示出售的第套快餐套餐的收入，．则独立同分布，且的分布都与的分布相同．则⑵设表示售出的份套餐中套餐的份数，则．则．八．（本题满分6分）设是取自正态总体中的一个样本．试求随机变量的分布．（不必求出的密度函数，只需指出是哪一种分布，以及分布中的参数即可．）解：由于，，而且与相互独立，所以，．由于，而且服从二元正态分布，所以与相互独立．所以，，

7、；而且与相互独立．第8页共8页2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案所以，．九．（本题满分11分）设总体的密度函数为，其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．⑴.求未知参数的矩估计；（4分）⑵.判断是否为参数的无偏估计；（4分）⑶.求．（3分）解：⑴.，所以，，将用样本均值来替换，得未知参数的矩估计为．⑵.由于，所以，是参数的无偏估计．⑶.，而所以，．十．（本题满分10分）第8页共8页2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案⑴（7分）设总体等可能地取值，，，，，其中

8、是未知的正整数．是取自该总体中的一个样本．试求的最大似然估计量．⑵（3分）某单位的自行车棚内存放了辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12，203，23，7，239，45，73，