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1、初等函数基础1、函数及其表示【引入】初屮学＞』的(传统)的函数的定义是什么？初屮学过哪些函数?问题1:y=l是函数吗？问题2:与足同一函数吗？X观察对应：AB观察分析集合A与B之间的元素有什么对应失系？(一)函数与映射函数：设A,B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数/(%)和它对应，那么就称/:A—B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=/(x),eAo其中％叫A变量，*的取值范围A叫做函数y=/(x)的定义域；与x的伉相对应的):的伉叫做函数位，函数伉的集合{/(%)IxeA},叫做函数＞’=/
2、(x)的傲域。函数符号y=/(x)表示“j.，是a:的函数”，有时简记作函数/(x)。函数的三耍素：对应法则/、定义域A、值域{/(X)
3、%EA}注：只有当这三要素完全相同吋，两个阑数j能称为同一函数。表示方法主耍有列表法、图像法、关系式法。映射：设A,S是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个元素％，在集合5屮都奋唯-确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A4B为从集合A到集合5的一个映射.如果集合A中的元素x对应集合S中元素y，那么集合A中的元素x叫集合S中元素＞，的原象,集合B中元素y叫合A屮的元素x的象.映射概念的理解⑴
4、映射f:A^B包含三个要素:原像集合及像集合B(或B的子集)以及从集合J到集合"的对成法则/.两个集合AA可以是数集，也可以是点集或其他集合.对成法则/可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具冇：(1)方向性.•映射是有次序的，一般地从/I到及的映射与从及到/I的映射是不M的；(2)任意性:集合/I中的任意一个元素都有像，俏不要求中的毎一个元素都有原像；(3)唯一性:集合J中元素的像是唯一的，即不允许“一对多”，佴可以“多对一”.蚋数与映射的关系函数足一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射/:函数;y=/(x),xgA,
5、yeB集合A,B可为任何集合，其元素可以足物，人，数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A中任一元素67,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个％，值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素/?，在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值，在定义域中都有确定的自变量的值与之对应阑数是特殊的映射，映射是函数的推广.E注意3(1)函数实际上就是集合A到集合B的一•个特殊对应/:A—B。这里A，B为非空的数集。(2)A：定义域，原象的集合；｛/(%)
6、%eA｝：值域，象的集合，K•中｛/(x)
7、xeA｝cB；f:对应法则，xeA,>，(3)函数
8、符号:y=f(x),y是％的函数，简记/(x)(一)已学函数的定义域和值域：1、一次函数/(X)=OY+/?(6/关0):定义域/?,值域k2、反比例函数/(x)=—(々#0):定义域｛义
9、x#0｝,值域｛y
10、y^O｝3、一次函数f｛x)=ax~+bx+c(a7^0):定义域/?,值域：当G〉0时，｛yy&4ac~b~｝；当“<0时，(yly^4ffC~b~)o4a4a(二)函数的值：关于函数值/(6Z)例析：若/(x)=x2+3x+1，求/(2)。解：/(2)=22+3X2+l=llK注意3(1)在y=/(x)中/表示对应法则，不同的函数其含义不一样；(2
11、)/(%)不一定是解析式，有吋可能是“列表”、“图象”；(3)/(X)与/(6Z)是不同的，前者为变数，P者为常数，/(6Z)是/(X)的一个特殊位。(三)区间的概念设6Z、是两个实数，而我们规定：(1)满足不等式的实数*的集合叫做闭区间，表示为[6Z,/?];求函数的定义域的常见类型：(1)当/(x)为整忒时，定义域为(2)当/(X)为分式时，定义域为使分母不为0的x的集合；(3)当/(X)为n次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；(4)当/(X)是III儿个忒子组成吋，定义域是使各个式子都有意义的的取值的集合。例3、已知函数/(x)=3x
12、2—5又+2，求/(3)，/(-V2),/(6/+1)。例4、K列蚋数屮哪个与蚋数:>，=义是同一个阑数？(1)y=(V^)2；(2)y=又+3(2)=Vx+lVx-1(3)/;(x)二(a/2x-5)2(2)满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为(«,/?)；(3)满足不等式或者的实数*的集合叫做半开半闭区间，表示为［“，/?)、(a,b］；(4)实数集/?可以用区间表示为(一oo，+TO);满足不等式;C彡tz,x〉a，x彡b，•¥
13、-①”念作负无穷大；念作正无穷大。E注
