二次函数在数学竞赛中应用

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1、二次函数在数学竞赛中应用【摘要】分类例析数学竞赛中二次函数相关问题的应用及其解答策略。【关键词】二次函数性质数学竞赛应用二次函数是中学数学中重要的知识点之一，它是解决一些实际问题的有效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵和外延，因此，在近几年的各类数学竞赛中，有关二次函数的试题频频出现，并有不断拓宽和加深的趋势，那么本文就通过一些实际例子来说明有关二次函数的问题在数学竞赛中的应用及其解决方法。1二次函数的表达式与性质1.1二次函数的三种常用表迗式①一般式：y=ax2+bx+c(a关0)，图像的对称轴是

2、直像的对称轴线x=-b2a,顶点坐标是(~b2a,4ac~b24a)；②顶点式：y=a(x-xO)2+h(aT^O),是x=xO,顶点坐标是(xO,h)；③交点式：y=a(x-xl)(x-x2)(a^O),其中xl,x2是方程ax2+bx+c=0的两根，图像的对称轴是x=xl+x22o一般情况下应用二次函数表迗式解题时应注意：(1)已知点为一般情形的三个点坐标时，应首先选用一般式;(1)已知顶点坐标或对称轴时，应首选顶点式；(2)已知点坐标为抛物线与轴的交点或是对应二次方程的根时，应首选交点式。根据已

3、知条件的不同选取不同的方法，有利于简化解题过程。1.2二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的单调区间的划分依赖于对称轴和开口方向。当a〉0时，二次函数y=ax2+bx+c的像开口向上，(_°°，-b2a)为单调递减区间，(_b2a，°°)为单调递增区间，并在x=_b2a处取得最小值4ac~b24ao当aO(aOcO(C)b+2c〉0(D)b2-4ac0o容易排除(B)，(D);由于b归结：对于判断二次函数中各系数之间的关系是否成立的问题，可以转化为判断二次函数一般式中系数的正负性，结合

4、图像即可解决问题。题型3、二次函数中的定点和动点问题求动点运动所形成的直(曲)线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。解决定点问题有两种方法：(1)特殊值法，即令参数取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求出解，则解就是定点坐标。(1)转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷多解，得到系数为零的条件再讨论解决。例3、已知点A(0，3)、B(-2,-1)、C(2,-1)，P(t,t2)为抛物线y=x2上位于ABC内(包含边界)的一动点，BP所在直线交AC于E点，CP所在直线交

5、于F点。将BFCE表示为自变量t的函数。解：设AB所在直线为一次函数y=ax+b的图像。将A(0，3)、B(-2，-1)代入y=ax+b解得a=2,b=3。所以AB所在直线为一次函数y=2x+3的图像。该直线与抛物线y=x2的交点的横坐标x满足方程x2=2x+3o解得xl=~l,x2=3o类似地可求得AC所在直线为一次函数y=_2x+3的图像，该直线与抛物线y=x2的交点的横坐标为x3=l，x4=_3。由于P(t，t2)为抛物线y=x2上位于ABC内部的一动点，因此，-ltl。过点P作MN//BC，则

6、BM=CN，于是，BFCE=BFBM-CNCE=BCBC_MP•BC-NPBC=BC-NPBC_MP=BC-[12MN-t]BC-[12丽+t]=2BC-MN+2t2BC-MN-2t又BCM，MNBC=3-t24，有MN=3-t2，故2BC-MN=8-(3-t2)=t2+5，因此BFCE=t2+2t+5t2-2t+5(-ltl)。题型4、二次函数在闭区间上的最值问题及其利用二次函数的性质解决实际生活中的最值问题求二次函数f(X)在闭区间［m，n］上的最值，看二次函数图像的开口情况及其对称轴与闭区间的相

7、对位置关系来判断二次函数在闭区间［m，n］上的单调性，进而求最值。具体方法总结如下：a、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)(1)求函数f(x)在区间［m，n］上的最小值。①当[m，n](-°°，—b2a]，即—b2an时f(x)min=f(n)；①当[m，n][~b2a,+°°)，即_b2am时f(x)min=f(m)；②当mm+n2时f(x)max=f(m);ob、设函数f(x)=ax2+bx+c(am+n2时f(x)min=f(m)；例4、已知二次函数f(x)=4x2-4ax+(a2-

8、2a+2)在0x1上的最小值为2。求a的值。解：根据题意将二次函数表达式进行配方得:f(x)=4(x-a2)2-2a+2可知其图像的开口向上，且对称轴为x=a2。即可按其对称轴x=a2与闭区间x［0,1］的三种位置关系分类进行求(1)当a21，即a〉2时，依题意得f(x)min=f(1)=4-4a+a2~2a+2=2解得a=3±5。因为a>2,所以a=3+5。综上所述a=0或3+5。例5、有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3,4共四种不同的档次。若