二次函数在中学数学中的应用探讨.pdf

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1、·中学教学·二次函数在中学数学中的应用探讨阜城县霞口镇初级中学王荣【摘要】在中学数学教学过程中，二次函数具有非常重要的地位，通过二次函数这一媒介，能够有效简化数学问题与解决数学问题，这就要求初中师生要高度重视二次函数的教与学。本文首先介绍了二次函数的定义、解析式、图像与性质，然后分析了二次函数在中学数学中的具体应用，以期能够促使学生更好地掌握二次函数这一重要知识。【关键词】二次函数中学数学应用探讨1.概述二次函数的定义及相关性质的最大值.（π取3.14，结果精确到0.1米）2分析：本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的一般地，把形如y

2、axbxc（其中a、b、c是常数，面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培a≠0，b，c可以为0）的函数叫做y是x的二次函数，其中a称养同学们的综合应用能力.为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，函数尤其是二次函数作为中学数学教学中的重点内容，对于研究函数的单调性、奇偶性、对称性和函数的最值等问题具有较高的研究价值，对于培养学生的自主探究能力和数学逻辑思维能力也具有较大的作用。二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线，具体图像由字母系数a，b，c来决定。二次项系数a决定2抛物线的开口方向和大小，常数项c决定抛物线

3、与y轴交点，解题:（1）当AD＝4米时，Sπ×AD＝1π×22半圆=1222一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。2＝2π(米)。2.二次函数在中学数学中的应用（2）①因为AD＝2r，AD+CD＝8，所以CD＝8－AD＝8－2.1利用二次函数实现最优化问题2222r，所以S＝1πr+AD·CD＝1πr+2r(8－2r)＝(1π－4)r+16r；已知某商场书包的进价为每件40元，单件售价是60元，222一个星期大约可卖出300件。根据市场调查发现：如果进行价②由①知CD＝8－2r，又因为2米≤CD≤3米，所以2≤8－2r格调整

4、，每涨价一元，每个星期大约少卖10件。试求解该商品2≤3，所以2.5≤r≤3，由①知S＝(1π－4)r+16r＝(1×应定价为多少元，商场才能够获得最大的经济利润？22分析：该题中的变量主要有两个，即利润和定价，而商场2223.14-4)r+16r＝－2.43r+16r＝－2.43(r－8)+64，因为－所求的最大利润，是个未知的量，从逻辑上推断符合函数的定2.432.43义，从而联想到可以应用函数知识来解决问题。而二次函数的2.43＜0，所以函数图像为开口向下的抛物线，因为函数图像对极值问题恰好就是此类问题的解决方法，并且当利润一旦设定，称轴r

5、＝8≈3.3.又2.5≤r≤3＜3.3，由函数图像的性质可知，2.43就可以把利润当作已知条件参与建立二次函数解析式，从而解在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值，决问题。2S最大值＝(1π－4)×3+16×3≈(1×3.14－4)×9+48＝26.13≈解：设该商品定价为x元时，可获得利润为y元22依题意得：y＝（x－40）·〔300－10（x－60）〕26.1(米2).即隧道截面面积S的最大值约为26.1米2.2＝－10x＋1300x－360002.3二次函数在方程方面的应用2＝－10(x－65)＋6250已知二次函数f(x

6、)ax2bx1(a，bR，a0)，设300－10（x－60）≥0方程f(x)x的两个实根为x和x。得x≤90（40≤x≤90）12因为a=－10<0，所以函数存在最大值（1）如果x12x24，设函数f(x)的对称轴为xx0，当x=65时，函数有最大值。求证x1；0即该商品定价65元时，可获得最大利润。（2）如果b的取值范围10。x2，xx2，求1212.2利用二次函数求解几何图形中的最大值分析：本题主要考查函数与方程的思想，利用数形结合考一条隧道的截面如下图所示，它的上部是一个以AD为直径查根的分布等综合运用所学

7、知识的能力。的半圆O，下部是一个矩形ABCD。解题：（1）设g(x)f(x)xax2(b1)x1(a0)，（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；由条件x2x4有g(2)0，g(4)0，即12（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径4a2b10为r米。①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系16a4b30式（不要求写出r的取值范围）；②若2米≤CD≤3米，利用函数图像求隧道截面的面积S（下转第40页）作者简介：王荣，1981-01，女，单位：阜城县霞口镇初级中学，河北省

8、衡水市，邮编053701，学历：本科，职称：中学二级，研究方向：初中数学。104·小学教学·抽5分钟左右给学生进行全身反应教学法的短语练