数学竞赛中的二次函数问题

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1、数学竞赛中的二次函数问题二次函数与二次方程、二次不等式的交汇自然贴切、一脉相承，因而，此类问题内容丰富、解题方法灵活多样，一直都是高考和高中联赛一试的重要内容之一.本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法.1二次函数问题1.1求二次函数的解析式二次函数的解析式常见形式有三种.求二次函数的解析式，就是选取一种形式，结合已知条件列方程(组)求出待定系数，进而确定二次函数的解析式.例1.设二次函数/(兀)满足/(兀+2)=/(-兀+2)且它的图象与y轴交于点(0,1),在兀轴上截得线段长为2血，求/(兀)的解析式.(2002年安徽省预赛)讲解：利

2、用二次函数的图象的对称性，再结合它在兀轴上截得的线段长为2近,知/(兀)的(2+V2,0),图象与兀的交点为(2-血,0)•因此利用零点式求解.设/(%)=6/(%-2+V2)(x-2-V2).由于二次函数的图象经过点(0,1),代入待定式求得°=丄.于是，/(x)=-(x-2+V2)(x-2-2V2),即/(x)=丄兀2一2兀+1.222说明：在求二次函数的解析式时，要充分利用其图象的几何性质，灵活选取待取式，优化求解过程.1.2二次函数在闭区间上的最值求二次函数/(兀)在闭区间[加,川上的最值，视二次函数的开口情况及其对称轴与闭区间的相对位置关系来判断二次函数在闭区间Lm,n]±的

3、单调性而求最值.例2.已知二次函数/(x)=4x2-4or+(a2-2a+2)在0別兀1上的最小值为2,求实数d的值.(2001年湖南省高中数学选拔赛)讲解:注意到/(兀)=4(_尹-勿+2,易知其图象开口向上，且对称轴为x=于是，可按其对称轴x=+与闭区间xe[0,l]的三种位置关系分类求解.(1)当-<0,即d

4、>1,即。〉2时，由题意/(x)min=/(1)=4-4z

5、+a-2=>得心=3±厉・因为°〉2,所以d=3+亦.综上d=0或q=3+a/5.in例3已知函数/(%)=--x2+y在区间［a,b］上的最小值为2°,最大值为2b.求［恥］.(2000年全国高中数学联赛)113讲解：按二次函数/(X)=-—F+—的对称轴X=0与区间a,b］的相对位置关系分类求解.(1)当0„a)在x=Q处取得最大值，在x=b处取得最小值13max/(X)max=f~=[口

6、ioog2d,即2.故2a=f(h)=--(-)2^-=—>0,与仃、小、戻13°22232GV0矛盾，舍去.(3)当吋，/(x)在兀=0处取得最大值，在x=a处取得最小值13/«ax=/(0)=-=2/7,解得g=-2±a/T7,b=—/(Qnin=/(a)=_£/+^=2d.4结合竽vOvb得［如［―2“,》.(4)当ovb,,0时,/G)在［讪上单调递增,则f(a)=2a,f(b)=2b,HF1c121317213即2a=——a+—,2b=——少+—.2222113由于方程丄x2+2x-—=0的两根异号，因此，满足a

7、17,—］.413说明1:当0时，由/（兀）在x=0处取得最大值，求得b=—.此时，41171339/（/,）=—（—）2+—=—>0,与/（/7）=26/<0矛盾•所以，/（尢）只能在x=a处彳3取得最小值2°.因此，将（2）、（3）两类合并后常化简为三类情况求解.说明2:二次函数闭区间上的最值问题常见题型有：区间定对称轴定、区间定对称轴动（如例2）、区间动对称轴动（如例3）和区间动对称轴动.对于区间动对称轴动，或者再结合开口情况不定的问题往往分类情况更多，但不管怎样，h/（x）在闭区间［加,比］上的最值仅在/（m）>/（〃）和/（）三处取得，所以，只要2a按此标准分三类求解即可•当

8、然，求解后还得检验.2二次函数与二次方程的实根分布例4已知a、b、c是正整数，关于兀的一元二次方程ax2+hx+c的两实根的绝对值均小于牛求a+b+c的最小值.（2005全国高中数学联赛福建预赛）讲解：设西兀2是方程"+加+c=0的两根•由韦达定理，有£+兀=—,.所以Xj<0,花v0•由兀］兀）=—<—,得一>9.aa〜a9c从而，ax2+/?x+c=0的两根西、x2G（-i0）.于是，可利用一元二次方程实①②③④根分布的相关知识求解./（0