数学竞赛中的函数方程问题

《数学竞赛中的函数方程问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、维普资讯http://www.cqvip.com36中学数学研究2003年第3期怎样解数学竞赛中的函数方程问题浙江省庆元中学(323800)姚荣峰所谓函数方程就是含有未知数的等式．在数学竞令=0=t，则(*)式化为：赛中，经常会出现一些与函数方程有关的问题，这类问f(t)+f(一t)=2f(0)cost．(1)题一般是求解某一给定的方程．解决这类问题的方法令x：罟+￡，Y=詈，代人(*)式得灵活多样，技巧性很强，下面通过例题介绍解决这类问(7r+t)+t)=0．(2)题的一些基本方法和技巧．1．换元法令：詈，Y=号+f，42Z．(*)式得基本思路：先对函数

2、方程中的变量进行适当的代7r+￡)+，(一￡)=一2)sint．(3)换，得到一个关于未知函数的代数方程组，再解方程组，得出所求函数的解析表达式．换元法的关键是要找由(1)、(2)、(3)得￡)=(0)c∞￡+(等)sint．到代换的方法．令n=0)，b=詈)，并把￡换成，得例1设F()是对除=0及=1以外的一切f()=O~COSX+bsinx．实数有定义的实值函数，且F()+F()=1+，2．柯西(Cauchy)方法求F()．基本思路：首先求出自变量取正整数时函数的解解：令=L(y≠0，Y≠1)，4Lz．Ni$i数方析表达式，然后顺次证明自变量取整数、有

3、理数、直到J程，得一切实数时，函数的解析表达式仍具有这种形式，从而得到函数的解析表达式．这是一种爬坡式的推理过程．F()+F()=．(1)例3设是定义在有理数集Q上的实值函数，且对一切，yEQ，有(+，一)=)+厂())，求一切令：=，则一专=，4LZ．(1)式得．可能的f()．F()十F(z)=·(2)解：由原方程，用数学归纳法可证得：l—l—Z把(1)、(2)中的，，，z换成，有f(1+2+⋯+n)=f(1)+f(X2)+⋯+)．F()+，()：1+，令1=2=⋯=n=，得f(眦)=()(n∈N，EQ)．(1)F()+F(：)=，1—在(1)中，令=1

4、，得n)=，1)=cn(其中cF‘T1)+)=1．=1))；令=0，得f(o)：0=C·0．一十消去F()和F(L)若∈Q，且>0，记=(m，n∈Ⅳ)，，得)=．由(1)有詈)=(n。詈)=(m)=，即说明：本题解法有个特点，即经过两次变量代换．詈)：c。詈'1．．)=CX．先是利用一次换元，出现了新的函数形式，此时无法通若∈Q．且<0，记=一(m，n∈Ⅳ)，过消元求出所求函数，于是再进行一次换元，使得出现的函数形式个数与方程的个数一致，从而可根据方程由Em+(一詈)]=詈)+(一詈)=0，得组的解法解出所求函数．例2解函数方程：，(一詈)=一／(詈)=c

5、(一詈)．)=．，(+Y)+—Y)=2f()cosy．(*)综上讨论可见，对一切EQ，有f()=．解：已知函数方程中出现了两个独立的变量，Y，说明：(+Y)=，()+Y)是一个很重要的函不妨设其中的一个变量为常量、数方程，它是由法国数学家柯西最早研究的，故称为柯维普资讯http://www.cqvip.com2003年第3期中学数学研究37西函数方程．有许多函数方程作适当代换后可化为柯求x)．西方程．解：令m=1，代入／(m+n)=／(m+n)+例4设)是定义在有理数集Q上，取值为正mn，得实数的函数，对任意的x，YEQ，满足(*)式：x+rt+1)=n)

6、+1)+n：(n)+ri+1，y)=)·f(y)，求)的解析表达式．·．f(n+1)一f()=n+1解：由(*)式，用数学归纳法可以证得：·1+X2+⋯+)=1)·2)⋯)．．)=∑if(⋯1)一／(n)]+1)(EQ)．：∑(n+1)+1：1+2+3．+．在上式中令1=2；⋯=：1，得)：【1)]．·．．)：(EN且≥2)．令n=，(1)≠0，则_厂(n)=，Bp当EN时，厂()：n．显见：1时上式仍成立，．．．()：}¨Ij．下面证明当EQ时，仍有_厂()=．例6已知)是定义在自然数集Ⅳ上的函数，在(*)式中取：y=0，得，(0)=，(0)·，(0)．

7、满足1)：{，且对任意，YEN，有·’．f(o)>0．f(o)：1：n。；在(*)式中取：1，Y=一1，得／(+y)：(1+南)／()，(0)：f(1)·，(一1)，，+(1+高)y)+Y+Y+y，．)==去：n-I．求)．对任意的n∈N，解：在原函数方程中令Y：1，且利用1)={，一n)=，(∑(一1))=[，(一1)]=n～．得至此已证明：当xEz时，有(x)：．．+1)：(1++iJ)／()+又．’n=1)=(∑i=1{)={)]，(1+{)·号++2x，’．．f()=n．整理得+一鲁+l=+斗．对任意的n，m∈Ⅳ，·．’．鐾c+2一+1：一萎、’一

8、4詈)=∑{)=[{)]=n，·止量．’．n+1一2一：2+4(、