函数迭代和函数方程(数学竞赛讲稿)

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1、第一讲函数迭代和函数方程一、基本知识简述1．函数迭代设是DD的函数，对任意，记，定义，，则称函数为的n次迭代.将含有未知函数的等式称为函数方程.的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.定理若对于任意的，有（1）则.证由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数及有理数，有（2）在（2）中令，得（3）在（2）中令，得，.，，.当时，（4）由（3），（4）知，（5）对于任意的，设，则有即.注：在定理4中，若加上为连续函数这一条件，则有.定理4的证明方法叫

2、做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值..2.5函数迭代和函数方程第19页共19页1．方法解读例1已知为一次函数，且，求.解设，显然.令，得，即为的不动点.由定理1知，，，，解之得，所以.例2已知，求.解，，∴，，由数学归纳法易知.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.例3设函数，满足，且，都有（1）2.5函数迭代和函数方程第19页共19页求.解（方法1）在（1）中将互换，则有（2）由（1），（2）得

3、（3）在（3）中令，则有，即.易证是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令，得（4）即.为了求出，需要求，为此在（1）中令，得，从而有，代入（4）可得.例4已知函数是的映射，满足：（1）对任意非负整数，有，（2），有，求.解在（2）中令，并记，则有.由于数列是递增数列，由定理3知，.若，则有，矛盾，所以，，从而有.又因为，容易得.所以，.例5求所有的的映射，使得，均有2.5函数迭代和函数方程第19页共19页（1）求.解设，在（1）中令，则有（2）由（2）知的值域为，所以的值域为R.又若，则，由（2）得，所以，这表明

4、是的双射.因此，使得.在（1）中令，得（3）由（2），（3）知，所以，，.在（1）中令，得（4）在（4）中令，注意到由（3）可知，从而有，故，有（5）由（4），（5）可知（6）因此，,有或.假设存在非零实数，使得，而，那么在（1）中令，得，又由（6）知或，矛盾，所以方程（1）的解是或.例6设是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，，当互素时，有（1）证明：对一切正整数，.2.5函数迭代和函数方程第19页共19页证，.又，.若结论不成立，设使的最小正整数为，则.，又，.由于是严格递增的，故当时，有（2）当为奇数

5、时，2与互素，故（3）由于，所以，从而由（2）得（4）（4）与（3）矛盾.当为偶数时，2与互素，从而有（5）因为，所以，由（2）得（6）（6）与（5）矛盾.综上可知，，有.例7求所有函数，使得，有（1）解，若，则，，，，故是的单射.下证.2.5函数迭代和函数方程第19页共19页当时，在（1）中取，得.因为上式左边3个数均为正整数，所以只能全为1，故，即时结论成立.假设时，有，那么当时，由是单射知，从而有，进而有，即（2）（3）（4）将上述3式相加，得.又，从而知不等式（2），（3），（4）全取等号，故，即对于结论成

6、立.由归纳法原理知，.例8.设在实数上都有定义，连续且不恒为0，求方程式(7)的解？【解】：任取，对任意的，存在使得，(可取，)将此代入(7)式可得令，则(8)因为在上连续上连续。故由例一可知，(8)有唯一的解，(是一个唯一固定的常数)，。2.5函数迭代和函数方程第19页共19页。故，令，注意：不要求为连续函数，则解未必是唯一的。例如函数(10)不难看出它也是(7)的解。例9：设在整个实数上是连续的，求方程式(1)的解。【解】：设，在(1)式中取，得因此，令；由上式可知。因为在整个实数上都是连续的，所以在整个实数上

7、也是连续的。因此，由§1的例一可知，。。(其中)。例10.设除了0以外的地方都有定义且连续，求方程式2.5函数迭代和函数方程第19页共19页(2)的解？【解】：因为(2)中分母不能为0，所以对每一个对(2)式两端取倒数，则可得(3)令，则(3)式变为(4)在除了0以外的实数上均连续，所以在除了以外的实数上连续。因此，(4)有唯一的连续解，其中。例11.设在正实数域上有定义，连续且不恒等于0，试求函数方程(4)的解。【解】：由数学归纳法易知，对所有的正实数；特别，取时，可知(5)在(5)式中，取，可得由(5)式也可知

8、，所以，由(4)式可知2.5函数迭代和函数方程第19页共19页。因此我们证明了，对于任意的，。因为在正实数上连续且有理数与的交集为上的稠密子集，，(＊)取定，对任意的，存在，使得；。将此代入(＊)，则可得。令，则。(6)这是函数方程(＊)在整个正实数上连续时，唯一的解。练习:1.已知是一次函数，且，求．解：设f(x)=ax＋b(a≠0)，记，则f2(x)=f