全国初中数学竞赛二次函数问题

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1、《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题11（2008）、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立。由已知，二次函数的图象经过点（－5,2），得25　　　①当时，有，由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有2≤≤2，故　　　②由①，②，得，，所以　……5分当时，有，即所以，二次函数对于一切实数x，

2、函数值大于或等于零，故　即　所以当时，有，即，所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以综上，所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立。　……………15分11（2009）．函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围．解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线的右侧．………………5分设函数与x轴的两交点的横坐标为，则，当且仅当满足如下条件………………

3、10分时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧．由解之，得………………15分所以当时，抛物线与轴的两交点在直线的右侧．………………20分12（2010）．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.（第12题）解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.设点B（t，

4、），，AB所在直线的函数表达式为，则有解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得…………（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.（第12题）设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8

5、，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）13（2011）．点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由（第1

6、3题）得，于是，即.于是又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.（2）设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以=，=.因为∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.11（2007）、已知抛物线C1：和抛物线C2：相交于A，B两点。点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间。（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值。t=0时，PQ=

7、8