北师九上课题学习-猜想、证明与拓广（一）教案

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1、课题学习猜想、证明与拓广课时安排2课时从容说课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积相同的若干倍.探索活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展.感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验.在内容设计上，教科书为学生自主探索留有较大空间：通

2、过“做一做”积累经验，通过“想一想”诱导发现，“议一议”中提出的问题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生可以找到自己感兴趣的问题，在“读一读”中引出两种思路，对问题的解决有很大的启发性.教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理问题的策略和方法.第一课时课题课题学习——猜想、证明与拓广(一)教学目标(一)教学

3、知识点探索“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.(二)能力训练要求1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识.2.在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.3.在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4.在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.2.获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.教学重点探究“任意给定一个矩形.是否存在另

4、一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径.教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.教学方法自主探索——合作交流.教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ.创设情境问题，搭建探究平台[问题1]任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?你是怎样做的?你有哪些解决方法?你能提出新的问题吗?[问题2]任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?请大家结合自己学过的知识

5、，认识思考问题1，并谈谈你自己的想法.[生1]若给定的正方形的边长是1，则它的周长是4，面积是1，另一个正方形周长变成它的2倍，即周长变为4×2＝8，面积则变成了()2＝4，即这个正方形的面积是原来正方形面积的4倍.若另一个正方形面积变成原正方形的2倍，即面积变为2.则这个正方形周长变为4.我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍.[生2]生1举的只是一个特例，不见得就没有存在的情况.[师]到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法.[组1]我们组找了几个已知的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是已知正

6、方形周长和面积的2倍.[组2]我们组从一般情况下证明不存在，设已知给定的正方形的边长为a，则其面积为a2,周长为4a，若周长倍增，即周长变为8a正方形的边长变为2a.面积变为4a2.不符合要求；若面积倍增，即面积变为2a2，正方形的边长变为，周长变为4，不符合要求，即无论从哪个角度考虑，都说明不存在这样的正方形.[师]很好!我们举几个特例猜想这样的正方形不存在，又从一般情况验证了这样的正方形确实不存在.同学们已经历丁—一个数学问题的解决过程，但如果将问题1拓展，正方形不具有这样的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有这样的特点呢?11.展

7、示思维过程，构建探究空间[师]你是如何思考问题2的?[生]矩形的形状太多了，我们可以先来研究一个具体的.[师]很好，我们就来先看一个特殊的、具体的矩形.多媒体演示：做一做如果已知矩形的长和宽分别是2和1.结论会怎样呢?你是怎么做的?与同伴交流.[生]已知矩形的长和宽分别是2和1，则其周长和面积分别为6和2，则所求矩形的周长和面积分别为12和4.可以先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多，它们的长和宽可以是5和1，4和2，3和3，也可以是和……其中是否有面积为4的呢?我们可以去尝试着找一下.(教师一定要给学生时间和空间去探索、猜测)[生]这样找太费劲。

8、我找了半天，也没有找到.我们不妨电可以先固定所求矩形的面积：面积为4的矩形也有很