椭圆及其标准方程刘娜

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1、椭圆及其标准方程哈尔滨师范大学数学系刘娜学号：2006010982生活中有椭圆，生活中用椭圆（一）认识椭圆实验：把绳子的两端分开固定在两个定点F1、F2上，保持拉紧状态，移动铅笔，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？材料:；一块纸板、一段细绳、两颗图钉、一支铅笔F1F2M（二）椭圆的定义：这两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做椭圆的焦距设

2、F1F2

3、=2c(c>0)

4、MF1

5、+

6、MF2

7、=2a(a>0)(2a>2c)平面内动点M与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.(大于)（三）概念

8、透析F1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于

9、F1F2

10、）的点的轨迹叫椭圆这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距1、椭圆的定义如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：P={M

11、

12、MF1

13、+

14、MF2

15、=2a（2a>2c）}．解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F

16、2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2(四)方程推导由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方该方程叫做椭圆的标准方程,它表示的椭圆焦点在X轴上，且F1(-c,0)、F2(c,0)两边同除以得：得：焦点在y轴：焦点在x轴：2、椭圆的标准方程:1oFyx2FM12yoFFMx变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P

17、到两焦点的距离和等于10，结果如何？已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（五）尝试应用2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：例1、两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点P∴……②联立①②可求得：∴椭圆的标准方程为xyF1F2P（六）典例分析求椭圆的标准方程的步骤：（1）首先要判断焦

18、点位置，设出标准方程（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b（后定量）分母哪个大，焦点就在哪个轴上标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标探究定义a、b、c的关系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(a>b>0)（七）谈谈收获P={M

19、

20、MF1

21、+

22、MF2

23、=2a（2a>2c）}．（八）课后作业课后习题第二题、第三题