平面微分系统的同宿分支及其应用

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1、四川大学本科毕业论文平面微分系统的同宿分支及其应用平面微分系统的同宿分支及其应用（数学与应用数学专业）学生：汪久指导老师：杜正东摘要：本文主要讨论自治微分方程组有鞍点时，所形成的同宿环的稳定性问题，当同宿环由于右端函数发生扰动破裂以后，鞍点的稳定流形和不稳定流形之间相互位置的关系，以及发生同宿分支时产生极限环的条件及极限环的稳定性，归纳出一些相应的判别法则。最后，我们将上述判别法则应用到了一个含参数的三次多项式微分系统,给出了相应的判别条件。关键词：鞍点,同宿轨,同宿分支,极限环。§1引言考虑如下的二维系统：，，（1）其中A为2×2阶矩阵,g

2、:R2→R2为充分光滑的函数并且g(0)=0,Dg(0)=0。这里Dg(0)表示g在原点处的Jacobi矩阵。如果A有一对符号相异的实特征根和,则系统(1)的奇点为鞍点。假如鞍点的稳定流形S+和不稳定流形S-重合，则这相互重合的稳定流形与不稳定流形（详细定义见§2）就形成了一条特殊的轨线，称为鞍点的同宿环（详细定义见§2）。如果对系统（1）加以扰动，鞍点O的同宿环就有可能破裂，这种现象称为同宿分支。众所周知，微分方程组大量存在于描述自然现象的数学模型之中,而自然界中各种形形色色的分支现象又是大量存在的。作为描述这一类分支现象的分支理论在自动控

3、制、航天技术、生态生物、生化反应等方面有着广泛的应用。同宿分支是其中重要而困难的分支现象，也是目前分支理论中成果最为丰硕的领域之一。本文简单总结了同宿环的稳定性的判断依据，及发生同宿分支时解的某些性质。从中可以看出同宿分支理论还很不完善，有很多问题亟待我们的研究，如空间系统同宿环的存在条件，从空间同宿环中分支出所谓的“周期”加倍同宿环和极限环的解析条件等,这些问题都是非常有趣的。10四川大学本科毕业论文平面微分系统的同宿分支及其应用§2同宿环及其稳定性的概念在本节我们给出同宿环及其稳定性的严格定义。首先我们考虑将非线性系统（1）简化。由线性代

4、数的知识，总可以通过非线性变换，把系统（1）化为：(2)显然（2）的线性化系统有两条不变流形=0及y=0。它们由奇点O(0,0)和两条进入的轨线和两条离开的轨线组成。类似地,对非线性系统（2），存在两条当时进入的不变流形，称为鞍点O的稳定流形，以及两条当时进入O的不变流形，成为鞍点的不稳定流形，它们分别在点与系统（1）的线性化系统的两条不变直线相切。（见文献[1]）定义1：（同宿环）对系统（1），当同一个鞍点O的稳定流形和不稳定流形重合的时候，我们称这一条重合的轨线为同宿环。显然如果P是上的一点，是t=0时系统过P点的轨线，那么同宿环的特征是

5、：微分方程定性理论的基本任务是研究系统在相空间上的轨道的分布状况。显然我们不可能逐个单一地研究每一条轨道，事实上我们也没有必要那么做。我们要研究一些特殊而重要的轨道，并研究它们附近的轨道情况，尤其是时的趋势，进而研究在它们之间的轨道会发生的情况，最终给出全局的轨道结构分布。这样的结果可以很好地指导实践应用。而同宿环就是其中一条特殊而重要的轨线。因此，对同宿轨及其附近的轨道结构的研究是十分重要的。为了研究同宿轨及其附近的轨道状况，我们称一个同宿环是内侧稳定的，若它内侧临近的轨道当时趋近于该同宿环；称一个同宿环是内侧不稳定的，若它内侧临近的轨道当

6、时远离该同宿环。我们的首要任务就是要研究同宿环的内侧稳定性，为此引入如下概念：10四川大学本科毕业论文平面微分系统的同宿分支及其应用定义2：（后继函数）设是,,，(3)的一条轨线，,是的两条无切线段（即与处处不相切的直线段），,是,的单位方向向量。与,分别交于,两点，在上取定点，上取定一点，则,可以表示为：函数称为系统（3）的轨线从到点的对应函数。如果盘旋一周以后再次与相交，并且与重合。这时，我们称函数为的后继函数。要研究同宿环的稳定性，利用上面的定义构造后继函数的后继函数法是一个非常重要的方法。在本文以后稳定性判别定理也是通过这样构造后继函

7、数得到的。显然有下面的引理成立：引理1：（同宿环的内侧稳定性的判别）L表示的一个极限环或同宿环。是L内侧距离L充分近的一条轨线在L上任意取一点M，设过点M的无切线段，其方向指向L内部，从L上点出发，经过时间后再次与交于点。设：当<1时，L是内侧稳定的；当>1时，L是内侧部稳定的。在本文以后的定理中，我们将分粗情况和临界情况的同宿环来分别讨论，其定义如下：定义3：设原点(0,0)是的非退化鞍点，有一个与它相连的同宿环令当0时，称为粗鞍点，成为粗鞍点同宿环；当=0时，称为临界情况下的同宿环。§3同宿环的稳定性判据10四川大学本科毕业论文平面微分系

8、统的同宿分支及其应用要研究同宿环的各种性质，我们就必须首先保证鞍点的4条不变流形的孤立性。定理1：在系统（1）中，两条稳定流形和两条不稳定流形都是孤立的，即它们是系