用问题链建构基于探究性理解的教学

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1、用问题链建构基于探究性理解的教学数学理解有三种方式，即记忆性理解、解释性理解和探究性理解。其中，记忆性理解的教学只要求学生记住事实材料，通过机械记忆、模仿与简单套用，反复训练学生的记忆能力。解释性理解的教学通过教师对原理、理论的系统讲解发展学生的理解能力，但学生得到的仍是教师传授的内容，而不是学生自己的领悟。探究性理解的教学则是以问题为中心，引起学生对重要问题产生困惑，通过对话和交流引导学生独立探索发现规律和建构知识的意义。函数零点存在性定理是函数与方程单元的核心定理，该定理的教学常采用基于记忆性理解、解释性理解的方式教学，这样的教学缺乏对

2、定理条件的赏析，显得对该定理的教育价值挖掘不够。笔者尝试综合运用三种数学理解，力求让学生达到探究性理解的水准。一、资源分析1.教学目标。教师应引导学生学习审视定理条件的科学方法。使学生理解函数零点的概念，能结合具体问题，理解方程的根、函数的零点、函数图象与轴的交点三者之间的关系。从而让学生初步应用函数零点存在性定理，解决方程根的存在性问题，悟出求近似解的方法。2.教学重点。了解函数零点的概念，通过函数图象直观感知函数零点存在性定理，初步了解应用定理估算方程根的范围的方法。3.教学难点。对函数零点存在性定理的条件的探究性理解和定理的应用。二、

3、教学过程1.通过展示与追问，引导学生深度参与探究性学习定理的过程。为了探究性理解函数零点存在性定理，笔者安排了如下例题，让学生板演展示，引发追问和思考。判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点。设计意图：通过对以上问题的探讨，生成函数零点存在性定理的表象，激发学生产生寻找判定零点存在的动机，将函数零点存在的条件显性化。方法一：由x2-2x-1=0得x1=1+■，x2=1-■，∵21+■3函数f（x）=x2-2x-1在（2，3）上有零点。方法二：∵f（2）=4-4-1=-10，f（3）=9-6-1=20又∵y=f（x）在

4、（2，3）上的图象为不间断的曲线。y=f（x）在（2，3）上存在零点。师：这两种解法各有特色，方法一基于方程的求解运算，方法二基于函数思想，试问哪种方法更值得推广？生：许多方程难解，因此方法二值得推广。师：能否从上述方法二的思想中抽象出一般结论呢？顺理成章，引出如下问题。函数y=f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在（a，b）上是否一定存在零点？请举例说明。设计意图：引导学生通过举反例，说明以上条件还不能确定函数y=f（x）在（a，b）上一定存在零点。面对问题，很快就有学生举出反例。生：f（x）=■在区间（-

5、1，1）上有f（-1）f（1）0，但是f（x）=0在（-1，1）上没有实数根。师：如何弥补条件的不足？生：只要函数y=f（x）在区间（a，b）上的图象连续不断就可以了。于是，题目可以往更深层次地进行派生。函数y=f（x）在（a，b）上有f（a）f（b）0，且在（a，b）上的图象不间断，问y=f（x）在（a，b）上一定有零点吗？设计意图：引导学生举反例，说明以上条件还不能确定函数y=f（x）在（a，b）上一定存在零点。面对这一问题，学生很难找到思维的切入点，根据提示，学生很快对区间（a，b）产生了质疑，但区间对结论会产生什么影响呢？师：是否存

6、在函数y=f（x）在[a，b]上有f（a）f（b）0且在（a，b）上的图象不间断，但y=f（x）在（a，b）上没有零点呢？请一名认为确定存在的学生在黑板上作出图示，如图。师：不难发现，图中的函数在[a，b]上的图象是间断的，而在（a，b）上不间断，它导致函数y=f（x）在（a，b）上没有零点。为了深化理解，师生互动又构造了如下图所示的反例。至此，该设计成功引导学生归纳出了如下函数零点存在性定理：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点。针对函数y=f（x）

7、在（a，b）上零点的个数，可将题目继续派生。函数y=f（x）在[a，b]上的曲线不间断，且f（a）f（b）0，问y=f（x）在（a，b）上是否有且只有一个零点？设计意图：引导学生通过作图举例进行探究性理解，感知零点个数的不确定性。经过师生互动，作出如图所示的有5个零点和有无数个零点（图象含有一线段在轴上）的实例。问：在什么条件下，函数y=f（x）在（a，b）上有且只有一个零点？设计意图：引导学生对函数y=f（x）在（a，b）上有且只有一个零点的条件进行探究性理解。基于以上的探究性理解，学生很快得到如下结论：若函数y=f（x）在区间[a，b]

8、上单调，其图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间上有且只有一个零点。2.通过问题解决，引导学生深度感知定理的应用。问题解决是基于探究性理解的教学的