课 题：平面向量数量积及运算律

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1、课题：平面向量的数量积及运算律课题：平面向量的数量积及运算律数学组王海军20054月12教学目的：　　1掌握平面向量数量积运算规律；　　2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；　　3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、复习

2、引入：　　1．两个非零向量夹角的概念　　已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量

3、

4、

5、

6、cos?叫与的数量积，记作?，即有?=

7、

8、

9、

10、cos?，　　（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为03．"投影"的概念：作图定义：

11、

12、cos?叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当?=0?时投影为

13、

14、；当?=180?时投影为?

15、

16、4．向量的数量积的几何意义：　数量积?等于的长度

17、与在方向上投影

18、

19、cos?的乘积5．两个向量的数量积的性质：　设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1??=?=

20、

21、cos?；2????=03?当与同向时，?=

22、

23、

24、

25、；当与反向时，?=?

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27、

28、

29、特别的?=

30、

31、2或4?cos?=；5?

32、?

33、≤

34、

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36、

37、6．判断下列各题正确与否：　1?若=，则对任一向量，有?=0(√)　2?若?，则对任一非零向量，有??0(×)　3?若?，?=0，则=(×)　4?若?=0，则、至少有一个为零(×)　5?若?，?=?，则=(×)　6?若?=?，则=当且仅当?时成立(×)　7?对任意向量、、，有(?)???(?)(×)　

38、8?对任意向量，有2=

39、

40、2(√)二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：?=?证：设，夹角为?，则?=

41、

42、

43、

44、cos?，?=

45、

46、

47、

48、cos?∴?=?2．数乘结合律：()?=(?)=?()证：若>0，()?=

49、

50、

51、

52、cos?，(?)=

53、

54、

55、

56、cos?，?()=

57、

58、

59、

60、cos?，　　若<0，()?=

61、

62、

63、

64、cos(???)=?

65、

66、

67、

68、(?cos?)=

69、

70、

71、

72、cos?，　　　(?)=

73、

74、

75、

76、cos?，　　　?()=

77、

78、

79、

80、cos(???)=?

81、

82、

83、

84、(?cos?)=

85、

86、

87、

88、cos?3．分配律：(+)?=?c+?在平面内取一点O，作=,=，=，

89、∵+（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，即

90、+

91、cos?=

92、

93、cos?1+

94、

95、cos?2∴

96、

97、

98、+

99、cos?=

100、

101、

102、

103、cos?1+

104、

105、

106、

107、cos?2∴?(+)=?+?即：(+)?=?+?说明：（1）一般地，(·)≠（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，　　　（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·(＋)２＝２＋２·＋２三、讲解范例：例1已知、都是非零向量，且+3与7?5垂直，?4与7?2垂直，求与的夹角解：由(+3)(7?5)=0==>72+16??152=0①(?4)(7?2)=0==>72?30?+82=0②两式相减：2?=2

108、代入①或②得：2=2设、的夹角为?，则cos?=∴?=60?例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD中，，，=∴

109、

110、2=而=∴

111、

112、2=∴

113、

114、2+

115、

116、2=2=例3四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形ABCD是什么图形?　　分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：　　一方面：∵＋＋＋＝0，　　∴＋＝－（＋），∴(＋)２＝（＋）２　　即｜｜２＋２·＋｜｜２＝｜｜２＋２·＋｜｜２　　由于·＝·，　　∴｜｜２＋｜｜２＝｜｜２＋｜

117、｜２①　　同理有｜｜２＋｜｜２＝｜｜２＋｜｜２②　　由①②可得｜｜＝｜｜，且｜｜＝｜｜即四边形ABCD两组对边分别相等　　∴四边形ABCD是平行四边形　　另一方面，由·＝·，有（－）＝０，而由平行四边形ABCD可得＝－，代入上式得·(2)＝０　　即·＝０，∴⊥也即AB⊥BC　　综上所述，四边形ABCD是矩形　　评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即＋＋＋＝，应注意这一隐含条件应用；　　(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1下列叙述不正确的是（）　A向量

118、的数量积满足交换律B向量的数量积满足分配律　C向量的数量积满足结合律D·是一个实数2已知

119、

120、=6,

121、

122、=4,与的夹角为６０°，则(