函数及其图象一

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1、函数及其图象（一）【命题思路剖析】1．考查考生研究函数的基础知识和基本技能的状况熟悉坐标特点，了解函数中自变量的取值范围的意义和方法，会根据事物的情节列出函数的解析式，会画出函数图象，会读出函数图象的意义，都是研究函数的基础知识和基本技能。是一种重要的数学能力，也是中考考查的重点内容。【例题1】填空题：已知，那么，点P关于轴的对称点是在第___象限【分析】关于轴对称的两个对称点，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。【解】点P关于轴的对称点的坐标为，当时，有，且可知点P关于轴的对称点是在第三象限，所以应填“三”。【剖析】本题不仅考查点的坐标，

2、而且考查了判断代数式的值的符号的技能，是对考生数学素质的考察。由本题的构思不难派生出类似的考题，如：所求改为“点P关于轴的对称点在直线上，则点的坐标为____________”则综合考查了曲线和方程的关系的知识，及解方程的技能，问题更有综合性。本题还可以用先判断点P在第二象限，再确定点所在象限的方法求解2．考查函数解析式的确定，考查待定系数法的使用是中考试题不变的重点内容函数解析式的确定是初中函数学习的重要内容，待定系数法是初中学习的重要的数学方法，所以使用待定系数法求函数解析式一直是必考的部分。不仅考查基本技能，而且题目有向综合灵活方向发

3、展的趋势，是能力和技能一起考查的一类重要试题。【例题2】填空题：反比例函数的图象经过点，其中、是一元二次方程的两个根，那么点的坐标为___________【分析】这里有三个未知数、、，用不同的条件布列三个独立的方程，可以求出它们的值，从而求出点的坐标【解】由于点P在反比例函数的图象上，所以有，①其中、、均不为0，又，由于、是一元二次方程的两个根，那么根据根与系数的关系，再结合①，可得三元方程组，解得则点P的坐标为，应填“”【剖析】本题虽然不要求求出的值，但求出的值确是求出、的值所必需的，所以应当做三元问题来处理比较好。值得指出的是，解的过程

4、和叙述方法可能不同，实质上都是在解一个三元方程组。3．考查考生掌握解析式和图像关系的能力熟练掌握函数解析式中各系数与图象形状、曲线走向、图象位置的关系，是对函数深刻理解的基础，也是运用“数形结合”方法的基础，所以也是中考命题的热点之一。【例题3】已知二次函数，如果，且，则它的图象应是（）【分析】充分运用已知中的和，如“有，可知点（1，0）在抛物线上”也要充分利用图形中抛物线的位置特征提供的信息，如（D）图说明【解】由于有，可知点在抛物线上，（D）可以排除；图（B）说明，，不满足；图（C）说明，，也不满足；所以应选(A)【剖析】数形结合是学习

5、函数的重要的基本技能，看“式”想“图形”，看“图形”想“式”，是解这一类题目的唯一途径。【解题方法点拨】1．注意“数形结合”思想的树立和正确运用“数形结合”方法是解决有关函数问题的重要思路之一【例题4】已知二次函数。求当时，的值的变化范围是______分析从而次行数的图象（抛物线）的特征可以知道，有时的值随的值的增大而增大，有时的值随的值的增大而减小（想一想，函数的状况如何？）【解】作配方变形得，画出示意图，观察可得，当时，的最小值为，当时，有是的最大值，所以，的取值范围是【点拨】事实上，二次函数有如下性质：（1）当时，若，的值随的值的增大

6、而减小，若，的值随的值的增大而增大，（2）当时，若，的值随的值的增大而增大，若，的值随的值的增大而减小，用代数推理求值时，需分类讨论，过程较繁琐；画图观察求解时，简明直观，迅速准确，但只能用于解答填空题和选择题等不要求写出步骤的试题。【例题5】已知二次函数的图象如图所示，下列结论①②③④中正确的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1【分析】仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断【解】由观察图形可知，当和时，分别有和，即有和，可得①、②正确，又由抛物线开口向下，所以，对称轴，所以有且

7、，即有④正确。又由于抛物线和轴的交点在轴的上方，所以则有，即③正确。所以应选(A)【点拨】本题的思考方法适用于很多类似的问题，很有普遍意义，应练习掌握。2．注意坐标系中的图象的量的关系和一般平面图形的量的关系相互转化【例题6】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A作轴的垂线交轴于点C，连结BC，设面积为S，则（）(A)S=1(B)S=2(C)S=3(D)S的值不能确定【分析】解决坐标系中的图形问题，可以借鉴处理平面几何图形的方法，求面积S，只需把分割成特殊三角形来解决。【解】再过点B做轴的垂线交轴于点D，则有，设点A、B两

8、点的坐标分别是和，于是把点A的坐标代入，得，且由反比例函数对称性可知和互为相反数，，所以，有（注意：所以应选（A）【点拨】把坐标系中的图形的量的关系化为一般平面图形的量的关系时，