高中数学_函数值域求法教案_新人教a版必修1

高中数学_函数值域求法教案_新人教a版必修1

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1、Kj函数值域求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例1求函数y=的值域解:x≠0,≠0显然函数的值域是:(-∞,0)∪(0,+∞)。例2求函数y=3-的值域。解:≥0-≤03-≤3故函数的值域是:[-∞,3]2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例1、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。解:将函数配方得:y=(x-1)+4,x[-1,2],由二次函数的性质可知

2、:当x=1时,y=4当x=-1,时=8故函数的值域是:[4,8]例2、求函数的值域。解:=,所以,故所求函数值域为[,+∞]。例3、求。解:………所以当时,有最小值-2。故所求函数值域为[-2,+∞)。3、判别式法例1求函数y=的值域。解:原函数化为关x的一元二次方程(y-1)+(y-1)x=0(1)当y≠1时,xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1)≥0解得:≤y≤(2)当y=1,时,x=0,而1[,

3、]故函数的值域为[,]例2求函数y=x+的值域。10解:两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=0(1)xR,△=4(y+1)-8y≥0解得:1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x(2-x)≥0,得:0≤x≤2。由△≥0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0≤x≤2,y=x+

4、≥0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即当=时,原函数的值域为:[0,1+]。注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例1求函数y=值域。解:由原函数式可得:x=则其反函数为:y=其定义域为:x≠故所求函数的值域为:(-∞,)5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有

5、界性,反客为主来确定函数的值域。例1求函数y=的值域。解:由原函数式可得:=>0,>0解得:-1<y<1。故所求函数的值域为(-1,1).例2求函数y=的值域。解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y10可化为:sinx(x+β)=3y即sinx(x+β)=∵x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤≤1解得:-≤y≤故函数的值域为[-,]

6、。6、函数单调性法例1求函数y=(2≤x≤10)的值域解:令y=,=,则y,在[2,10]上都是增函数。所以y=y+在[2,10]上是增函数。当x=2时,y=+=当x=10时,=+=33。故所求函数的值域为:[,33]。例2求函数y=-的值域。解:原函数可化为:y=令y=,=,显然y,在[1,+∞)上为无上界的增函数,所以y=y+在[1,+∞)上也为无上界的增函数

7、。所以当x=1时,y=y+有最小值,原函数有最大值=。显然y>0,故原函数的值域为(0,]。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例1、求函数的值域。解:由,得。令10得,于是,因为,所以。故所求函数值域为[-∞,]。例2、求函数的值域。解:设,则。所以,故所求函数值域为。例3求函数y=

8、x+的值域。解:令x-1=t,(t≥0)则x=+1∵y=+t+1=+,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y=1,当t→0时,y→+∞。故函数的值域为[1,+∞)。例4求函数y=x+2+的值域解:因1-≥0,即≤1故可令x+1=cosβ,β∈[0,∏]。∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin(β+∏/4)+1∵0≤β≤∏,0≤

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