高中数学 函数值域求法教案 新人教a版必修1

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1、函数值域求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1求函数y=的值域解：x≠0，≠0显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。例2求函数y=3-的值域。解：≥0-≤03-≤3故函数的值域是：[-∞，3]2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例1、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x=1时，y=4当x=-1，时=

2、8故函数的值域是：[4，8]例2、求函数的值域。解：=，所以，故所求函数值域为[，+∞]。例3、求。解：………所以当时，有最小值-2。故所求函数值域为[-2，+∞）。3、判别式法例1求函数y=的值域。解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1)+（y-1）x=0（1）当y≠1时，xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1)≥0解得：≤y≤（2）当y=1，时，x=0,而1[,]故函数的值域为[，]例2求函数y=x+的值域。10解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0

3、（1）xR，△=4（y+1）-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0≤x≤2，y=x+≥0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时

4、，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例1求函数y=值域。解：由原函数式可得：x=则其反函数为：y=其定义域为：x≠故所求函数的值域为：（-∞，）5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例1求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=＞0，＞0解得：-1＜y＜1。故所求函数的值域为(-1,1)

5、.例2求函数y=的值域。解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y10可化为：sinx（x+β）=3y即sinx（x+β）=∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1解得：-≤y≤故函数的值域为[-，]。6、函数单调性法例1求函数y=（2≤x≤10）的值域解：令y=，=，则y，在[2，10]上都是增函数。所以y=y+在[2，10]上是增函数。当x=2时，y=+=当x=1

6、0时，=+=33。故所求函数的值域为：[，33]。例2求函数y=-的值域。解：原函数可化为：y=令y=，=，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x=1时，y=y+有最小值，原函数有最大值=。显然y＞0，故原函数的值域为(0,]。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

7、挥作用。例1、求函数的值域。解：由，得。令10得，于是，因为，所以。故所求函数值域为[-∞，]。例2、求函数的值域。解：设，则。所以，故所求函数值域为。例3求函数y=x+的值域。解：令x-1=t，（t≥0）则x=+1∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。故函数的值域为[1，+∞）。例4求函数y=x+2+的值域解：因1-≥0，即≤1故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。∴y=co

8、sβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin（β+∏/4）+1∵0≤β≤∏，0≤β+