高中数学 2_3_1 抛物线的定义与标准方程同步精练 湘教版选修2-11

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1、高中数学2.3.1抛物线的定义与标准方程同步精练湘教版选修2-11已知5＝

2、3x＋4y－12

3、是动点M所满足的坐标方程，则动点M的轨迹是(　　)．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对2抛物线过点(－2,3)，则它的标准方程是(　　)．A．x2＝－y或y2＝xB．y2＝－x或x2＝yC．x2＝yD．y2＝－x3抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为(　　)．A．B．C．D．04抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)．A．B．C．D．35以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．6经

4、过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为__________．7已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．8直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，

5、AM

6、＝，

7、AN

8、＝3，且

9、BN

10、＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．9过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两条直线，分别交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求该抛物线

11、上纵坐标为的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．4参考答案1.解析：由题意得＝，即动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离等于它到原点(0,0)的距离．由抛物线定义可知，动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．答案：C2.解析：抛物线过点(－2,3)，点(－2,3)在第二象限，由图象可知，方程可设为x2＝2py或y2＝－2px，代入点(－2,3)求得p的值分别为和，故y2＝－x或x2＝y.答案：B3.解析：设M(x，y)，且方程化为x2＝y，则有

12、MF

13、＝y＋

14、＝y＋＝1，∴y＝.答案：B4.解析：设直线4x＋3y＋m＝0与y＝－x2相切，则有消去y，得3x2－4x－m＝0，令Δ＝0，得m＝－.∴两直线间的距离d＝＝.答案：A5.解析：右顶点为(4,0)，设抛物线为y2＝2px，＝4，∴p＝8.故y2＝16x.答案：y2＝16x6.解析：设抛物线的方程为y2＝2px或x2＝－2p1y.∵点P(4，－2)在抛物线上，∴4＝2p×4或16＝－2p1×(－2)．∴p＝或p1＝4.∴抛物线的方程为y2＝x或x2＝－8y.答案：y2＝x或x2＝－8y7.解析：设抛物线的焦点为F(x，y)，如图，A，B到准线的距离为

15、AA′

16、，

17、B

18、B′

19、，点F在与切线垂直的直线上(过切点)，四边形AA′B′B为梯形，4∴

20、AA′

21、＋

22、BB′

23、＝2r＝4.又由抛物线定义得

24、FA

25、＝

26、AA′

27、，

28、FB

29、＝

30、BB′

31、，则

32、FA

33、＋

34、FB

35、＝4，故点F在以A，B为焦点的椭圆上，且2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＋＝1(y≠0)．答案：＋＝1(y≠0)8.解：以l1为x轴，以MN的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系．依题意，曲线C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段，其中A，B为曲线C的两个端点，设曲线C的方程为y2＝2px(p＞0，xA≤x≤xB)．∴M(－，0)，N(，0)．由

36、A

37、M

38、＝，

39、AN

40、＝3，得由①②两式解得或∵△AMN是锐角三角形，∴＞xA，∴只有p＝4，xA＝1成立．由点B在曲线段C上，得xB＝

41、BN

42、－＝4.∴曲线段C的方程为y2＝8x(1≤x≤4)．9.解：(1)令y＝，则x＝.4又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，由抛物线定义得，所求距离为－(－)＝.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB．由y＝2px1，y＝2px0，相减得(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)．∴kPA＝＝(x1≠x0)．同理可得kPB＝(x2≠x0)．由PA，PB倾斜角互补，知kPA＝－kPB，即＝－.∴y1＋y2＝－

43、2y0，故＝－2.设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px1，y＝2px2，相减可得kAB＝＝(x1≠x2)．将y1＋y2＝－2y0(y0＞0)代入，得kAB＝＝－(p＞0，y0＞0)．∴kAB是非零常数．4