12-6薛定谔方程

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1、word资料下载可编辑§12－6薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。一、薛定谔方程1一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。一维自由运动粒子的波函数(前已讲)Y(x,t)=y0e-i(2p/h)(Et-px)由此有再利用可得此即一维

2、自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。2）若粒子在势场U(x,t)中运动由有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U=U(x)中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即专业技术资料word资料下载可编辑式中Y=Y(x,t)是粒子在势场U=U(x,t)中运动的波函数。将Y=Y(x,t)=y(x)T(t)代入得一维定态薛定谔方程式中y=y(x)是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。定态的概率密度Y(x,t)Y*(x,t)=y(x)y*(x)定态下的概

3、率密度和时间无关。在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。二、一维无限深方势阱中的粒子粒子在一种简单的外力场中做一维运动，求解定态薛定谔方程；即给定势函数U(x)，求解能量和波函数(结构问题)；1一维无限深方势阱中的粒子a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a无限深方势阱(potentialwell)一维无限深方势阱0专业技术资料word资料下载可编辑势阱是一种简单的理论模型。自由电子在金属内部可以自由运动，但很难逸出金属表面。这种情况下，自由电子就可以热

4、那是处于以金属表面为边界的无限深势阱中。在粗略地分析自由电子的运动（不考虑点阵离子的电场）时，就可以利用无限深势阱模型。V(x)xoa1）势函数0(0

5、Y(0)=0；只有B=0才能满足Y(0)=0；方程化简为Y(x)=Asinkx当x=a时，Y(a)=0；因为A¹0，所以sinka=0；专业技术资料word资料下载可编辑有ka=np，(k¹0)则k=np/a，(n=1,2,3,…)5）将k=np/a代入波函数Y(x)=Asinkx有(n=1,2,3,…)6)将k=np/a代入得(n=1,2,3,…)能量量子化：能量只能取特定的分立数值，称为能量量子化。式中，n称为量子数，表明能量只能取离散的值。当n=1时，能量取得最低值，(零点能)大小当n=2,3,4,5…时，能量分别为4E1,9E1,…。即E=n2E1.能量由一系列能

6、级组成。7)波函数①波函数的空间部分阱内区域：Yn(x)=Asin(np/a)x(n=1,2,3,…)由归一化条件ò-¥¥

7、Yn(x)

8、2dx=1又联立得于是，波函数(空间部分)(n=1,2,3,…)专业技术资料word资料下载可编辑这是以x=0和x=a为节点的一系列驻波解。阱外区域：yn=0这些波函数的空间部分称作能量本征函数(energyeigenfunction)。②全部波函数(包括空间、时间部分)8）概率密度wn(x)=

9、Yn(x)

10、2=(2/a)sin2(np/a)x(n=1,2,3,…)下图是无限深势阱中，粒子在前四个能级的波函数和概率密度的分布情况，从图中可

11、见，粒子在势阱中各处的概率密度并不是均匀分布的。xaoE、y(x)、

12、Y(x)

13、2n=2n=1n=3

14、2Yn

15、En0an很大量子®经典当量子数n=1时，粒子在势阱中部（即x=a/2附近）出现的概率最大，在两端出现的概率为零；随着n的增大，概率密度分布曲线的峰值个数逐渐增多，而高度减小，相邻峰值间的间距减小。当n很大时，，能量变得很大，曲线将趋于平坦，即粒子在势阱中各处出现的概率相同。三、一维势垒1一维势垒专业技术资料word资料下载可编辑当粒子从x=-¥处以确定能量E入射；问题：给定势函数U(x)，解定态薛定谔方程，求粒子的波