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1、§2.3薛定谔方程重点：薛定谔方程是量子力学的五个基本假设之一难点：薛定谔方程的理解vv经典力学中，质点的状态由r,p描写，它们遵从牛顿定律；量子体系的状态由Ψ描写，应找出与牛顿定律相当的运动方程，作为量子力学的基本方程，它决定Ψ随时间的变化规律。一、量子力学运动方程（Scho&&dinger方程）应满足以下条件∂Ψ1.方程中仅含有Ψ关于t的一阶导数，不能含有t的二阶以上∂t2∂Ψv的导数,...。因假定Ψ(r,t)完全描写体系的状态，给定了2∂tvΨ(r,t)后，根据方程可求得以后任何时刻的态，而且
2、是唯一的，02∂∂Ψ故方程中不能含,...否则描写态还需,...。2t=t0∂t∂t2.方程中关于Ψ及Ψ对时、空导数应为线性的。因迭加原理要求，如Ψ,Ψ,...Ψ,...是体系的可能态，即方程的12n解，则Ψ=∑cnΨn也是体系的一个可能态，即也是方程的一个解。nvv3.方程中不能含有决定体系状态的具体参量，如E,P,L等，这样v方程才具有普遍意义，否则是描写某一个E或P有确定值的方程。二、方程的建立（非推导）1．自由粒子的波方程（从自由粒子平面波出发）已知（自由粒子的Scho&&dinger方程）：
3、ivvv(p⋅r−Et)Ψ(r,t)=Aeh，它是所要建立方程的解。求得：1ivv∂Ψi(p⋅r−Et)i∂=−EAeh=−EΨ，EΨ=ihΨ，（1）∂thh∂tiv(pxx+pyy+pzz−Et)再对坐标求二次偏微分：Ψ(r,t)=Aeh，22∂Ψi∂Ψpx=pΨ，=−Ψ，x22∂xh∂xh2p222∂Ψy∂Ψpz同理=−Ψ,=−Ψ2222∂yh∂zh222∂Ψ∂Ψ∂Ψ1222三式相加得：(++)Ψ=−(p+p+p)Ψ2222xyz∂x∂y∂zh22p222即：∇Ψ=−Ψ，pΨ=−h∇Ψ,（2）2h
4、2p利用自由粒子的能动关系式：E=，有2µ22∂Ψph2ih=EΨ=Ψ=−∇Ψ∂t2µ2µ2∂Ψh2即：ih=−∇Ψ(自由粒子的波方程)（3）∂t2µ它满足前面的条件。2．一般力场的薛定谔方程∂vv从EΨ=ihΨ和(p,p)Ψ=(−ih∇)⋅(−ih∇)Ψ可以看出，∂tv粒子能量E和动量p各与下列作用在波函数上的数学符号相当：∂v222E↔ih，p↔−ih∇，p↔−h∇（4）∂t2p它们分别叫作能量算符与动量算符。如果把E=两边同乘以Ψ2µ2再以（4）式代入即可得方程（3）。v如果粒子在一般力场中运动
5、，即U(r,t)≠0，则2pvE=+U(r,t)，两边同乘以Ψ，有：2µ2pvEΨ=Ψ+U(r,t)Ψ，2µ2∂Ψh2v把（4）式代入得：ih=−∇Ψ+U(r,t)Ψ，（5）∂t2µ此方程合乎（一）中的三点要求，称之为S.方程或波动方程。说明：①是假定了自由粒子的Ψ形式的基础上所建立起来的；②非推导，而是建立，因有假定。3.推广到N个粒子体系—多粒子体系的薛定谔方程N2pivvv体系的能量E=∑+U(r1,r2,...rN,t)，U—包括体系在外i=12µi场中的能量和粒子间的相互作用能。两边同乘Ψ，
6、作代换：∂vE→ih，p=−ih∇得：ii∂tN2∂h2ihΨ=−∑∇iΨ+UΨ—多粒子体系的S.方程。（6）∂ti=12µi另外，其它方法：Dirac编著的《量子力学》中ChapterⅡ§27和Landan编著的《量子力学》中ChapterⅡ§8.,均用到经典力学和分析力学知识及算符知识，都是从①Ψ完全描写态，②迭加原理出发，③再用经典极限类比，得到的Scho&&dinger方程。还可以作为基本假设直接给出方程的形式。总之，不论用什么方法，都不是从更基本的理论导出方程，而是建立方程，而且得到的都是这
7、种形式，它的正确性是靠实验3来证实的。所以它和牛顿定律一样，是对大量实验的综合，该方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿定律。知道了vvvU(r,t)及Ψ(r,t)即可从该方程中求得以后任何时刻的Ψ(r,t)，从0v2而求得Ψ(r,t)及一切力学量的分布。4
