薛定谔方程在行动

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1、薛定铐方程在行动MarianneFreiberger关键词：薛定谡方程，概率假设你有一个粒了在一个盒了内的两堵墙之间來回反弹，FL粒了只沿着一维的x-轴，在两个不能穿过的垂直墙x=0和兀岂之间运动。在盒了内部没有力7(xJ)对x<0和x>L为无穷大。作用在粒子上，所以这里它的势能为o,即对0<兀<厶有r(x/)=0o当粒了撞击墙面时，无穷大的力将它推回，故势能4BoxV二infinity—V=0V=infinity10Particle盒子中的粒子因为在这个例子中势能不依赖于时间，在盒子内我们可以使用不依赖于时间的一维薛定谡方程:d2屮dx2+8兀力nE屮h2=0)其屮加为

2、粒子的质量，E是它的总能量，/?=6.626068x1Q-^nnkgls是普朗克常数。方程(1)的解是一个函数哝x)，具有下而的一般形式i//(x)=Acos^TtimEhlVx+5sinZitimEhlVx,(2)其中力与B为任意常数。当时间为/时，在位置X处粒子的概率和”⑴

3、2有关。我们知道，因为粒子需要无穷大的能量才能冲出盒子外（即到达兀＜0或兀〉厶的区域），所以它不可能离开盒子。这意味着当x＜0及兀＞厶时，0（兀）=0。因为卩在盒子的边界处是连续的，我们得到妙在x=0和x=L时也为0o第一个边界条件久0）=0意味着0=Acos0+5sin0=^,因此我们可以丢掉第一

4、项，这样我们的方程变为0（x）=3sin^TtlmEhl7x.（3）而第二个边界条件久厶）=0意味着0=5sin^TtlmEhlpL,因而或者B=0或者正弦项为0o前者推出肖处处为0,但这是不可能的，因为我们知道粒子总在盒子的某处。这样我们得到0=sin^TtlmEhlVl.因为siny=0当且仅当尹是兀的倍数，因此^TtzmEhi7L=0,%2兀,3兀,...换言之,pL=n兀,其中Z?为一正整数。这告诉我们粒子的能量只能是对应于斤=0,1,2,…的离散值En=mh28mL2.（4）对应于能量级丛的n称为的量子数。量子数77=0对应于零能量但它也给出在盒子里处处为零的波函

5、数肖0,意味着粒子不能位于盒子中的任何地方。这样，量子数也要出局，结果是被允许的能量级为En=nih2^m厶2,/7=1,2,3,•••(5)心概念。波粒二象性是量子力学中的核能量谱是离散的，即并不是所有的能量都被允许（特别是零能量不能出现），这一结果是无法从经典力学中得到的结果。事实上，它挑战了像能量这样的量应该连续变化的传统智慧：根据莱布尼茨的说法，“自然不让跳跃”。经典物理也告诉我们，一个系统的最低能量状态（也称为真空基态）应当具有零能量。但是这些奇怪的量了结果与量了系统的实验观察相吻合，例如氢原T的离散能量谱。进一步地，我们知道常数B的值可以通过对波函数归一化而获得

6、。冋想I屮(x)

7、2是于时刻r在位置兀处发现粒子的概率密度，并且有下面的关系：

8、vP(X)

9、2=

10、^(X)2e-(2^E//7)/

11、=

12、^/(X)2

13、

14、e-(2^//7)/

15、,其中(2兀劭"是一个复数，可以写成e-(2TtE!h)t=cos(-(27rE/h)l)+isin(-(27rE/h)t).根据三角函数中的恒等式，cos2(-(2^E//7)r)+sin2(-(2^£，//7)/)=l复数的模

16、e-(2^)/

17、为1。因此有I屮(x)

18、2=

19、p(x)2\e-(27tE/h)t=#(x)

20、2.因此，粒了在盒了中某处的概率由式了上01屮(X)

21、2必=ko

22、p(x)

23、zdx给出。因为知道粒了总是在盒了的某一处，就有ko

24、vP(x)

25、26/r=ko

26、^/(x)

27、2t/r=l.把0(x)的表达式(3)带入，就得到fzo52sin2^TtimEhiVxdx=1.利用下而的不定积分:sx2(ax)dx=-12asin(ax)cos(ax)+x2,我们计算出B=2L—P,E=4n=3n=2ElX盒子中的粒子：X轴表示粒子的位置，y轴表示粒子的能量。允许的前4级能量水平在图中用水平虚线表示。波函数叠加显示在图中相应的能量水平位置上。图片来源：PapaNovember因此我们最后推导出:0(x)=2L一一Psin^TtimEhlVx将（4）

28、式给出的E的可能值丛带入，我们有无穷个波函数旳（x）（每个量子数,即允许的能量级，与之一一对应）：曲⑴=2厶一一Vsin伽xL),0

29、2=

30、屮(x)

31、2是在位置X处发现粒子的概率密度，这意味着在盒子中有个位置在那里永远找不到粒子！这样我们看到了薛定话方程如何产生了与经典直观相冲突的一个奇怪的结