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时间:2018-10-19
《12-6薛定谔方程》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、word资料下载可编辑§12-6薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后,薛定谔作了一个关于物质波的报告。报告后,德拜(P.Debye)评论说:有了波,就应有一个波动方程。几个月后,薛定谔果然提出了一个波方程,这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的动力学方程,象牛顿方程一样,不能从更基本的方程推导出来,它是否正确,只能由实验检验。一、薛定谔方程1一维薛定谔方程1)一维自由运动粒子(无势场)设:一维自由运动粒子,无势场,不受力,动量不变。一维自由运动粒子的波函数(前已讲)Y(x,t)=y0e-i(2p/h)(Et-px)由此有再利用可得此即一维
2、自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。2)若粒子在势场U(x,t)中运动由有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。3)定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U=U(x)中运动,微观粒子的势能仅是坐标的函数,与时间无关,可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积,即专业技术资料word资料下载可编辑式中Y=Y(x,t)是粒子在势场U=U(x,t)中运动的波函数。将Y=Y(x,t)=y(x)T(t)代入得一维定态薛定谔方程式中y=y(x)是定态波函数,它所描写的粒子的状态称作定态,是能量取确值的状态。定态的概率密度Y(x,t)Y*(x,t)=y(x)y*(x)定态下的概
3、率密度和时间无关。在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件,求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数,状态能量,概率密度等)。二、一维无限深方势阱中的粒子粒子在一种简单的外力场中做一维运动,求解定态薛定谔方程;即给定势函数U(x),求解能量和波函数(结构问题);1一维无限深方势阱中的粒子a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a无限深方势阱(potentialwell)一维无限深方势阱0专业技术资料word资料下载可编辑势阱是一种简单的理论模型。自由电子在金属内部可以自由运动,但很难逸出金属表面。这种情况下,自由电子就可以热
4、那是处于以金属表面为边界的无限深势阱中。在粗略地分析自由电子的运动(不考虑点阵离子的电场)时,就可以利用无限深势阱模型。V(x)xoa1)势函数0(05、Y(0)=0;只有B=0才能满足Y(0)=0;方程化简为Y(x)=Asinkx当x=a时,Y(a)=0;因为A¹0,所以sinka=0;专业技术资料word资料下载可编辑有ka=np,(k¹0)则k=np/a,(n=1,2,3,…)5)将k=np/a代入波函数Y(x)=Asinkx有(n=1,2,3,…)6)将k=np/a代入得(n=1,2,3,…)能量量子化:能量只能取特定的分立数值,称为能量量子化。式中,n称为量子数,表明能量只能取离散的值。当n=1时,能量取得最低值,(零点能)大小当n=2,3,4,5…时,能量分别为4E1,9E1,…。即E=n2E1.能量由一系列能6、级组成。7)波函数①波函数的空间部分阱内区域:Yn(x)=Asin(np/a)x(n=1,2,3,…)由归一化条件ò-¥¥7、Yn(x)8、2dx=1又联立得于是,波函数(空间部分)(n=1,2,3,…)专业技术资料word资料下载可编辑这是以x=0和x=a为节点的一系列驻波解。阱外区域:yn=0这些波函数的空间部分称作能量本征函数(energyeigenfunction)。②全部波函数(包括空间、时间部分)8)概率密度wn(x)=9、Yn(x)10、2=(2/a)sin2(np/a)x(n=1,2,3,…)下图是无限深势阱中,粒子在前四个能级的波函数和概率密度的分布情况,从图中可11、见,粒子在势阱中各处的概率密度并不是均匀分布的。xaoE、y(x)、12、Y(x)13、2n=2n=1n=314、2Yn15、En0an很大量子®经典当量子数n=1时,粒子在势阱中部(即x=a/2附近)出现的概率最大,在两端出现的概率为零;随着n的增大,概率密度分布曲线的峰值个数逐渐增多,而高度减小,相邻峰值间的间距减小。当n很大时,,能量变得很大,曲线将趋于平坦,即粒子在势阱中各处出现的概率相同。三、一维势垒1一维势垒专业技术资料word资料下载可编辑当粒子从x=-¥处以确定能量E入射;问题:给定势函数U(x),解定态薛定谔方程,求粒子的波
5、Y(0)=0;只有B=0才能满足Y(0)=0;方程化简为Y(x)=Asinkx当x=a时,Y(a)=0;因为A¹0,所以sinka=0;专业技术资料word资料下载可编辑有ka=np,(k¹0)则k=np/a,(n=1,2,3,…)5)将k=np/a代入波函数Y(x)=Asinkx有(n=1,2,3,…)6)将k=np/a代入得(n=1,2,3,…)能量量子化:能量只能取特定的分立数值,称为能量量子化。式中,n称为量子数,表明能量只能取离散的值。当n=1时,能量取得最低值,(零点能)大小当n=2,3,4,5…时,能量分别为4E1,9E1,…。即E=n2E1.能量由一系列能
6、级组成。7)波函数①波函数的空间部分阱内区域:Yn(x)=Asin(np/a)x(n=1,2,3,…)由归一化条件ò-¥¥
7、Yn(x)
8、2dx=1又联立得于是,波函数(空间部分)(n=1,2,3,…)专业技术资料word资料下载可编辑这是以x=0和x=a为节点的一系列驻波解。阱外区域:yn=0这些波函数的空间部分称作能量本征函数(energyeigenfunction)。②全部波函数(包括空间、时间部分)8)概率密度wn(x)=
9、Yn(x)
10、2=(2/a)sin2(np/a)x(n=1,2,3,…)下图是无限深势阱中,粒子在前四个能级的波函数和概率密度的分布情况,从图中可
11、见,粒子在势阱中各处的概率密度并不是均匀分布的。xaoE、y(x)、
12、Y(x)
13、2n=2n=1n=3
14、2Yn
15、En0an很大量子®经典当量子数n=1时,粒子在势阱中部(即x=a/2附近)出现的概率最大,在两端出现的概率为零;随着n的增大,概率密度分布曲线的峰值个数逐渐增多,而高度减小,相邻峰值间的间距减小。当n很大时,,能量变得很大,曲线将趋于平坦,即粒子在势阱中各处出现的概率相同。三、一维势垒1一维势垒专业技术资料word资料下载可编辑当粒子从x=-¥处以确定能量E入射;问题:给定势函数U(x),解定态薛定谔方程,求粒子的波
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